Casino "True win"

Casino “True win”

Viktor Anatolyevich Ufnarovsky
"Kvant" №1, 2012

– Nå, hvordan går det med kasinoet på baggrund af den globale krise? – Med et velkendt smil spurgte Ted sin gamle ven Bill, grundlæggeren og ejeren af ​​et nyt kasino i byen. Men den sædvanlige svar joke hørte ikke. – Er det virkelig så slemt? – Denne gang i Ted's stemme var oprigtig sympati.

– Ja, hvordan fortæller du det? Folk er stadig meget – alle er glade for at drikke frie drikkevarer. Men store penge ses nu sjældent. Folk gemmer. Og du, matematikerne, har prøvet – alle ved allerede, at i et kasino er sandsynligheden for at tabe mere end sandsynligheden for at vinde. Det sætter kun små mængder. Som et resultat, nogle tab. Du skal også betale for drikkevarer og leje, men af ​​en eller anden grund skriver de ikke om dette i bøger om sandsynlighedsteori.

– Nå skal du gøre det modsatte. Så de besøgende betaler for drikkevarer, og sandsynligheden for at vinde var mere end sandsynligheden for at miste.

– Ja. Bare noter det nul i roulette1 til fordel for den besøgende, så hele byen vil ned og lege og drikke øl. Jeg er endda klar til at ændre casinoets navn til "True Win", hvad er der ikke reklamer for? – Bill bevarede sin sans for humor. Men han sluttede sin tirade på en mindre note.- Kun jeg er bange for, at så vil jeg helt sikkert gå i stykker. Hvis den besøgende vinder i 19 tilfælde ud af 37, venter kasinoet på et nedbrud – det er forståeligt uden sandsynlighedsteori.

Hvad med psykologi? Når alt kommer til alt, hvis en besøgende vinder, vil han med glæde betale for drikkevarer. Koks i en bar koster 15 kroner, og du betaler næppe mere end to for en krukke. Jeg taler ikke om drikkevarer stærkere. Så meget for sandsynlighedsteorien. – Ted grinede og tilføjede pludselig. "Men da matematik generer dig, lad hende hjælpe dig." Jeg kan godt lide ideen om et nyt navn. Vi vil gøre dette …

* * *

Premieren var stor. Reklame var hvad du har brug for: "Rigtig sejr! Nul til fordel for den besøgende! Kun hos os! Kom og du vil ikke fortryde!”

Folk kom løbende – bare ikke overfyldte. Alle ønskede at slå casinoet i henhold til reglerne, der syntes at være ugunstige for ham. Mange kunne ikke bevæge sig væk fra bordet, hvor der var et terningspil. Ted smilede og husk hvor svært det var at overbevise Bill om at indføre nye regler …

– Du er skør! Så nu vil det være muligt at satse på et hvilket som helst nummer og få et dobbeltspil, hvis det falder på nogen af ​​de tre overgivne knogler? Forstår jeg dig korrekt?

– Ja.

– Men der er kun seks tal! Hvad bliver der til mit kasino, hvis jeg i halvt tilfælde taber så meget som jeg kan vinde i andre?

– Du har ret.Jeg har glemt de særlige regler, hvis tallet falder på mere end et ben.

– Nå, tak Gud, selvom jeg får noget. Så i dette tilfælde? Ingen vinder? Eller genkaste knogler?

– Tværtimod, hvis tallet faldt på to terninger, modtager klienten en tredoblet sats.

– Hvad?!

– Nå, og sige, fem gange mere, hvis det faldt på alle tre.

I det øjeblik syntes Bill at have simpelthen mistet sin stemme til tale, da der kun var en konsonant i sit ordforråd.

Men nu gik alt lige præcis som Martin Gardner beskrev i en af ​​hans bøger: Når nogen fik en fem-time-indsats, hadede de tabte den heldige vinder og ikke casinoet uden at tro at det var her, der vandt.

Og centrum for opmærksomheden var selvfølgelig målebåndet. Reglerne var usædvanligt enkle. Ud over de sædvanlige (som muligheden for at satse på rødt eller sort med et dobbeltspil, hvis den valgte farve faldt), blev der tilføjet fire yderligere:

  1. Hvis nul falder, modtager spilleren også et dobbeltspil.
  2. Hver spiller beder præcis tre gange.
  3. Størrelsen af ​​væddemål er ikke mindre end en tredjedel af det disponible beløb.
  4. Det maksimale beløb, som en besøgende kan bære, er 100 tusind kroner.

Køen lancerede så længe, ​​at den ekstra meddelelse blev taget for givet: "Spillere med en startkapital på 50.000 og mere passerer køen." Der var ganske få af dem, som kun brændte interesse og spænding. Ted lyttede til samtalen i nærheden.

– Åh, Baron, dette er et vidunderligt spil! Jeg havde 60 tusind, jeg satte halvt på rødt og vandt. Disse 30 tusind satte jeg igen, men gætte ikke. Så satte han igen 40 tusind på den røde, og nul blev droppet! I et hvilket som helst andet casino vil dette være et sammenbrud, og her vandt jeg de autoriserede 100.000 og har til hensigt at bruge det grundigt på den lokale bar – kasinoet fortjener det!

– Jeg er enig, grev. Du ved, penge er ikke så vigtigt for mig, at spillet selv tiltrækker mig. Jeg havde først 30.000, og jeg lagde alt. Allerede efter det andet spil havde jeg 120 tusind! Den tredje gang jeg sætter minimum – fyrre – Jeg er ikke sådan en fjols, og jeg tabte, men gevinsten på 50 tusind er i min lomme. Så baren straks – vi har noget at gå!

Selvfølgelig var der som i ethvert casino tabere. Men de klagede ikke over kasinoet: "Kun med min evige uflaks kan du tabe, når sandsynligheden for at vinde er mere end at tabe!"

Også med maskinpistoler var alt i orden. Meddelelsen læste: "Vi er ikke ejere af automatiske maskiner, og desværre kan vi ikke ændre sandsynligheden for at vinde. Men vi hyrede vores største tabere for at udnytte de fleste fejl. Vent, indtil de taber mange gange, og tag spillet alene!

Det var selvfølgelig et rent psykologisk trick, men det fungerede. Alle var under vildledelsen, at chancen for at vinde efter fem fejl i træk var betydeligt bedre end før. Derfor var efterspørgslen efter casino assistenter klar til denne svage manglende oprettelse enorm. Bill var særlig tilfreds med denne ide.

– Fantastisk! I stedet for at lytte til klager fra sundhedsarbejdere, at vi ødelægger familier og skaber selvmord, hyrede vi disse håbløse spillere, så de kunne leve i spidsen for det eneste formål at tabe så mange gange som muligt uden at miste deres penge! De ville have aftalt for ingenting, men også at betale dem ekstra for det er en strålende idé!

* * *

På gallamiddagen i anledning af den succesrige premiere var Ted på ærestedet.

"Mange tak for den store ide," sagde Bill og hældte vin i sine briller. – Baren har aldrig bragt en sådan fortjeneste som i går. Vi er reddet! Men du ved, jeg var heldig selv med et målebånd: det gav også overskud i går!

– Hvorfor er det heldigt? – Ted var oprørt. – Så det burde være!

"Du mener du forventede dette?" Jeg troede, du kun regnede med buffet.

– Gode meninger om dine venner! Selvfølgelig skulle kasinoet have vundet uden en buffet.

– Men jeg forstår det absolut ikke! Forklar hvordan du kan vinde, hvis sandsynligheden for at vinde er mindre end halvdelen?

– Med glæde, men først vil jeg slutte med delikatesser. Efter et kort stykke tid gik vennerne op til Bills værelse og bevæbnet sig med papir og penne.

"Lad os tage et kig på kuberne," foreslog Ted.

"Der syntes du at have forklaret alt for mig." Hvis vi har seks besøgende til at sætte én krone på forskellige tal samtidigt, så er alle numrene på de tre overgivne terninger endnu forskellige, jeg er hverken kold eller varm fra dette: Jeg får deres sats på seks krooner og betaler tre af dem to hver. Hvis den samme figur faldt på to terninger, så græder en gæst jeg tre kroner, to til den anden, og den ene er tilbage for mig. Det samme, hvis alle tre terninger faldt på samme måde: den heldige vil modtage fem kroner, og jeg tager den sjette. Jeg værdsatte det allerede.

– tak. Og kan du regne ud hvor meget i gennemsnit vinder du?

– Nu vil jeg spørge kassereren.

– Hans tjenester vil ikke være nødvendige – lad ham drikke champagne.Hvad er sandsynligheden for, at alle tallene vil være forskellige?

– Uh-uh. Nå, jeg har i alt seks terninger, det vil sige 216 forskellige muligheder for at ringe tre numre. Af disse skal du vælge dem, hvor tallene er forskellige. Nu skriver jeg på et stykke papir.

– Og uden papir er det nemt. Det første ciffer kan vælges på seks måder, for den anden er der fem muligheder og fire for det sidste ciffer. I alt: 6 til 5 til 4.

– Åh, du! Så meget nemmere at tælle. Og sandsynligheden vil derfor være (6 · 5 · 4) / 63 = 5/9. Så jeg tjener min krone med en sandsynlighed for 4/9. Bedre end jeg troede.

– Ja, klage ikke! Og nu kan vi nemt estimere den forventede gevinst: 0 · 5/9 + 1 · 4/9 = 4/9. Dette er faktisk den matematiske forventning om resultatet af et spil til et kasino. Det vigtigste er, at det er den matematiske forventning, og ikke sandsynligheden, der afgør, om det er et rentabelt spil eller ej.

– Det er forståeligt.

– Så okay? – Ted grinede. – Så vil du selvfølgelig ikke være vred, hvis du finder ud af, at jeg har ændret reglerne for dine vegne lidt og nu, hvis tre identiske numre falder ud, får gætterpersonen 10 kroner og ikke 5 som tidligere? Du skulle have set, hvor mange mennesker der straks kom løb!

"Sig mig, du laver sjov," sagde Bill. – Trods alt vil selv den sidste dumme forstå, at nu er kasinoet taberen.Du skyr mig, ikke?

– Og tænkte ikke. Bare tjekker for at se, om du lyttet til mig omhyggeligt. Fool mener? Og hvor meget tror du sådan en fjols vil vinde i dit casino? Du syntes ikke at klage over tabet? "Det var svært for Teds uigennemtrængelige ansigt at gætte hvad glæden samtalen gav ham. – Kan du stadig beregne forventningen til spillet for en anden fjols, der ejer dette casino?

– Jeg tællede allerede. Hvis tallene er forskellige, er resultatet nul, hvis alle er ens – kasinoet taber 4 kroner, og hvis nøjagtigt to er identiske, vinder det, men kun 1 kroner. Hvad er der galt med det?

"Kun at alle disse tal er langt fra det, vi beregner, er fra det gennemsnitlige forventede resultat." For at beregne det, har du brug for enhver mulig gevinst.2 multiplicere med sandsynligheden for dets forekomst og tilføj det hele. Det er denne multiplikation, der ændrer alt! Kan du huske, hvordan jeg forklarede dig, hvorfor det er nødvendigt at overveje forventningen og ikke sandsynligheden for at vinde?

– Ja, jeg husker det. Eksemplet var overbevisende: hvis jeg vinder hundrede kroner med en sandsynlighed på 3/4, og i de resterende tilfælde taber jeg tusind, så er det ikke værd at spille, selvom sandsynligheden for at vinde er mere end halvdelen. Men det var klart. Vi regnede endda med det forventede resultat: 100 · 3/4 + (-1000) · 1/4 = -175.

"Så hvad stopper du fra at beregne forventningen her?"

– Nå, her er tre tilfælde.

– Hvad er forskellen? Tæl kun sandsynligheden for hver af dem, multiplicer med resultatet og tilføj. Hvad er sandsynligheden for at alle tallene er de samme?

– Dette er bare forståeligt: ​​6/216 = 1/36 – Sådanne tilfælde findes sjældent. Men hvordan kan jeg tælle sandsynligheden for, at præcis to identiske tal falder ud?

– En meget enkel. Vi har allerede talt sandsynligheden for, at ikke alle numrene er forskellige.

– Ja, det viste sig 4/9, og det var nemt.

– Disse 4/9 inkluderer sandsynligheden for, at alle tre cifre er de samme (det er, som du husker, lig 1/36). Hvad er der tilbage?

– Fik det! Der er kun sandsynlighed for, at nøjagtigt to identiske cifre, og dette er 4/9 – 1/36, dvs. 5/12.

– Også meget. Og den matematiske forventning til et kasino, hvis en spiller har sat en krone, vil da være

0·5/9 + 1·5/12 + (-4)·1/36 = 11/36.

– Wow! Mere end 30 procent overskud!

– Ja!

– Dette forstod jeg endelig. Men jeg tror stadig ikke, at i vores roulette er den matematiske forventning til min fordel. Sandt nok kan jeg simpelthen ikke vurdere det – der er for mange muligheder, du kan ikke sortere det ud.

– Ja, det vil virkelig være mere listigt. Lad os først forenkle spillet: fjern reglen fra en tredjedel og lad kun grænsen for den maksimale gevinst på 100 tusind.Så vil det helt sikkert være til gavn for den besøgende, da sandsynligheden for at vinde er mere end halvdelen. Men hvordan er det mere rentabelt for ham at spille? Antag at du har 40 tusind og du spiller præcis tre gange. Hvor meget vil du sætte i det første spil?

– Nå, for det første ville jeg vælge hvilket spil man skulle spille. Sandsynligvis det nemmeste at farve. Da der er 18 sort og 18 rød, så vælger jeg en af ​​disse farver, siger rød og sæt den på ham. Da der også er et nul, sandsynligheden for at gætte p = 19/37 selvfølgelig til min fordel.

– Du svarer igen på det forkerte spørgsmål. Ligegyldigt hvilken slags roulette spil du spiller, en gang p > 1/2. Med samme succes kan du satse på lige eller ulige. Jeg spekulerer på, hvor meget du satse på?

Fig. 1

– Forskelligt muligt. En baron, lad os sige, ville lægge alt – han gør det altid. Og hans svigersøn sætter aldrig mere end 10 tusind, han er bange for at miste.

– Og dig selv?

– Lad os sige halvt 20 tusind. Noget mistænkeligt er i din intonation, men det ville også sætte alle 40.

– Kan du lide træer? – bedøvet Ted-snakker med et andet spørgsmål.

– Nå, ikke alt, jeg er allergisk overfor nogle. Og hvad har træerne?

– Ja, jeg skulle tegne et par til dig. Bare rolig, det bliver matematiske træer. De vil hjælpe os med at forvente.Sandt nok ved jeg ikke, hvordan du er allergisk over for matematik, "smilede Ted. – Lad os først beslutte, hvem der er smartere: den eventyrlystne baron eller hans forsigtige svigersøn. Den nemmeste måde er med en svigersøn, der sætter 10.000 hver gang. Med sandsynlighed p han vil have 50 tusinde, og med sandsynlighed q = 1 – p vil være 30 tusind. Vi vil skildre dette som et billede (figur 1).

"Helt tydeligt," vedtog Bill. – Og nu, hvad sker der næste i hver af mulighederne?

– Nå, nøjagtigt det samme billede, kun tallene er forskellige. Lad os sige, om der var 50 tusind, så med sandsynlighed p han vil have 60 tusind, og med sandsynlighed q – 40 tusinde

Fig. 2

– Fantastisk! Og hvis vi lader ham spille tredje gang og sætte alt sammen, får vi et vidunderligt billede (figur 2).

– Jeg formoder, at det er hende, du vil kalde et træ.

– Selvfølgelig! Men hvordan gissede du?

"Fordi det er som om du tegner uden et kuffert med hovedet på hovedet og tror, ​​at det for alle andre er ligesom et træ." Og træerne vokser ikke sådan!

– Hvad har tønderen at gøre med det? Dette er et vidunderligt træ! Alt er synligt på det. Lad os sige 70 tusind vil være på filialen ppp med sandsynlighed p3, og 50 tusinde kan fås i tre versioner: PPQ, PQP og QPP. Samlet sandsynlighed 3p2q. Sandt, smukt?

– Du har mærkelige smag, men det er virkelig nemt at tælle. Jeg kan sandsynligvis endda skrive den forventede værdi af resultatet. Det vil være 70 ·p3 + 50·3p2q + 30·3pq2 + 10·q3 – rigtigt? Men hvad får jeg fra disse breve?

– Hvis du ikke kan lide bogstaver så meget, skal du tage en lommeregner og tælle! Du ved: p = 19/37 og q = 18/37.

"Jeg kan ikke rigtig godt lide det, men det er stadig nyttigt at vide, hvad dit projekt kan gøre … Hmm." Hvis du runder det, er det 40 811 kroner. Jeg troede det ville være værre.

– Lad os nu spille spillet Baron.

"At jeg kan gøre uden grimme træer!"

– Jeg har al opmærksomhed.

– med sandsynlighed p baronen bliver fordoblet, i andre tilfælde vil han ikke have noget tilbage, så efter en kamp vil hans forventning om resultatet være 2 · 40 ·p = 40 · 38/37 tusind.

– Du snakker perfekt.

– Så – Bill fortsatte smugly – siden i et spil forøges de forventede penge med 38/37, efter tre spil bliver det 40 · (38/37)3 eller ca. 43.332 kroner. Er det virkelig rentabelt at være en eventyrleder? Nå er du tilfreds med din elev?

Fig. 3

– Nogle gange spekulerer jeg bare på, hvordan sådanne mennesker stoler på sådanne penge.

"Hvad er der galt med mine beregninger?"

– Både matematik og psykologi. Du troede rigtigt, at du skal multiplicere med p fordoble gevinsterne, men du glemte at maksimumsbeløbet er 100 tusind. Så resultatet bliver ikke 8 · 40 ·p3, men kun 100 ·p3.

– Kort sagt, 13.541 kroner. Og nu har jeg endnu mere værdsat reglen om 100 tusind. Jeg følte at eventyret ikke skulle betale sig!

"Og vigtigst af alt," fortsatte Ted roligt, "du glemte, at Baron er en eventyrer, men ikke en fjols." Hvis han har 80 tusind tilbage efter det første spil, vil han ikke vædde mere end 20, idet han ved at han ikke modtager mere end hundrede alligevel!

– Og hvordan man tæller så?

– Som før: træ tegning. Bemærk at hvis han vinder, vil han ikke satse noget for tredje gang, og hvis han taber, vil han sætte et rimeligt maksimum – 40 tusind (figur 3).

– Jeg ser. Og jeg forstod mine fejl. Men så vil den forventede vinde være mindre end jeg var bange: kun 100 ·p3 + 2·100·p2q + 20·pq2 = 41629, men stadig bedre end svigersønnen.

Fig. 4

Og hvad giver min halvstrategi? Vent, nu skal jeg finde ud af det for mig selv – måske vil jeg ikke være allergisk over for dine træer. Selvfølgelig har jeg 90.000, jeg vil ikke lægge halvdelen, men kun 10.000 (figur 4). Det viser sig 100p3 + 80·p2q + 45·2·p2q + 3·15pq2 + 5·q3 = 41 394 kroner runde konto. Jeg følte, at det er nødvendigt at lægge 40 tusind!

– Overhovedet ikke. At baronen modtog mere end du ikke betyder, at dette er det bedst mulige resultat. Vil du vide, hvordan jeg ville spille?

– Du ved hvad jeg vil, tale!

– Har du bemærket, at summen af ​​tallene i den sidste række af hvert træ altid er den samme?

– Det er bare dig, der bemærker sådanne ting, som det ikke er klart, hvordan! Men ja, mængden er faktisk den samme – 320 i hver af de tre træer.

– fundet ud af hvorfor?

– Selvfølgelig ikke!

– Det er nemt.Lad os se på det lille træ igen (figur 5). Hvis jeg har 40 kroons og jeg vedder x kroons, du får 40 + x i tilfælde af held og 40 – x ellers. Uanset hvordan jeg vedder, vil summen af ​​disse tal altid være 80. Det betyder, at i min første linie vil summen være 80, dvs. præcis to gange det oprindelige beløb. Se det på alle træerne?

Fig. 5

– Ja. Så forstod jeg tilsyneladende. Den samme begrundelse er egnet til andre små træer. Og det betyder, at i anden linje vil mængden være dobbelt så meget, dvs. 160. Nu er det klart, hvorfor den sidste linje altid vil være 320 – igen, dobbelt så meget. Utroligt, selv med X, kan du forklare hvordan med tal!

– Nå, så koster det ingenting at finde den smarteste måde at spille på. Det er nok at fordele disse 320 tusind, så gevinsten er maksimal. Kan du håndtere det?

– Jeg håber det. Maksimalt 100 I sætter straks den højeste sandsynlighed p3. De resterende 220 sætter på den næste p2q: Lad os sige 100 – pr. filial PPQ og PQP og 20 – på QPP. Alle andre grene af damerne ved nul. Og så hvad skal man gøre? Jeg ved trods alt ikke, hvor meget der skal satses for første gang for at få sådanne tal. Hvordan går man tilbage gennem træet? Ikke X at skrive.

– Simpelt simpelt! Tæl det aritmetiske gennemsnit af hvert par tal og skriv det over dem. Se igen på det lille træ: (((40 + x) + (40 – x)) / 2 kun 40 arbejde!

– Jeg kan ikke tro det så let. Og hvad er resultatet?

Fig. 6

– Nu tegner vi (figur 6).

– Det viser sig at du skal sætte 35 tusind. Hvem ville have troet! Og forventningen er også let at tælle: 100 ·p3+220·p2q, vises ca. 41.764 kroner. Baron vil måske forblive i kulden.

– Eller en casino ejer, der tillader sådanne spil. Nu er det tid til at tale om den en tredjedel regel. Jeg tror du allerede gættet, hvorfor det er nødvendigt.

– Jeg tror, ​​for at forhindre indsatser til nul, hvis du allerede har 100 tusind.

– Absolut.

– Men jeg ser stadig ikke, at jeg nyder godt af dette. Det kan ske, at spilleren allerede inden den sidste indsats allerede er tæt på 100.000, og jeg er selvfølgelig taberen.

– Men vil kunden blive tilfreds?

– Stadig!

– Se hvor godt har du også brug for tilfredse kunder? Og lad os nu tælle. For enkelhed forudsætter yderligere beregninger, at afspilleren oprindeligt havde 54 tusind. Hans minimumspil er 18, hvilket vil give 72 tusind i tilfælde af succes. Gentag succes vil føre ham til 96 tusind.

– Du forstyrrer mig med så kloge antagelser.

– Tværtimod bør du være glad for dette! Især hvis han vinder tredje gang.

– Tror du virkelig det, så skal jeg danse for glæde?

– Selvfølgelig! Fordi i dette tilfælde vil han sætte mindst 32 og derfor vil gevinsten være 128 tusind, men han vil ikke modtage alt, men kun 100, og resten 28 vil være til din fordel!

– Du holder mig skør! Min matematik er lam, men ikke så meget. Hvad er brugen af ​​det for mig, hvis han kom med 54 og forlod med 100 tusind i lommen?

– Min ven, glemmer du altid, at vi overvejer forventningen. Hvad ville det være uden den en tredjedel regel?

– Nå har vi allerede grundigt adskilt det. Så denne måde: 8 · 54 vil give 432, 100 vil gå til p3, 300 – på p2qresten er på pq2. I alt: 100p3 + 300·p2q + 32pq2 = 55 916 CZK

– Af disse er vi 28 tusinde med en sandsynlighed p3 vi tager tilbage. Hvor meget er der tilbage?

– Det kan ikke være! 52 124.

– Er du nu tilfreds?

– Ikke ordet. Men stadig et par spørgsmål jeg har forladt.

– Kom igen!

– Hvis kunden ikke har mange penge, siger kun 10.000, så påvirker reglen på en tredjedel ham ikke, og derfor kan han vinde?

– Selvfølgelig! Det er derfor, vi åbnede en bar og meddelte at med en sum på 50.000 passere uden en kø. Selvfølgelig vil enhver matematiker bekræfte at i dit casino kan du virkelig vinde, hvis du spiller korrekt. Men han vil ikke være for hurtig til at forklare for alle hele sandheden.Det forekommer mig, at sådanne mennesker fortjener en smule glæde ved roulettebordet – de vil ikke vinde for meget, tæller! Og baren vil helt sikkert betale for alt.

– Nå, okay. Men før eller senere bliver det kendt, at kasinoet vinder med store summer.

– Og du tror, ​​at nogen vil stoppe med at spille? Matematikere har forklaret tusindvis af gange, at sandsynligheden for at vinde ikke ændrer sig, hvis nogen allerede har mistet fem gange i træk. Så hvad Se på dem, der ansætter tabere hos os. De tror på deres held, ikke i matematik. Dette er psykologi. Og hun er helt sikkert på vores side. Baron vil aldrig udveksle dit casino til det sædvanlige.

– Okay, overbevist. Men – det sidste spørgsmål. Hvorfor har du brug for alt dette? Som en praktisk person tror jeg ikke på, at alt forklares af et venskab.

– Nå forstod du selv, at jeg kan vinde, hvis jeg spiller lille.

– Og det er sagen? Det lader til at du holder tilbage.

"Men hvis jeg siger, at skønheden i en matematisk løsning er meget mere attraktiv for mig end et spil og nemme penge, vil du stadig ikke tro det?"

"Jeg ved det ikke, jeg ved det ikke," mumlede Bill.

Tilfreds, Ted sagde farvel og gik hjem og forlod Bill i dyb tanke.

opgaver

De første fire opgaver er træning af definitioner, opgaver 5 og 6 vedrører den forenklede version af spillet (uden den en tredjedel regel), resten til hele spillet.

1. I en konventionel klassisk roulette kan du også satse på nogle grupper af til tal hvor til = 1, 2, 4, 9, 12, 18 (kun sagen behandles i artiklen til = 18). Hvis nul (ikke en på 36 cifre) taber afspilleren. Hvor mange indsatser får en spiller, hvis han vinder (forventningen skal selvfølgelig være den samme for alle til)? Vil svaret ændre sig, hvis nul giver, som i artiklen, dobbelt så høj hastighed (men der er ingen andre begrænsninger)?

2. Hvad er det maksimale vinde et kasino kan tillade en spiller at terning i tilfælde hvor alle tre terninger havde samme nummer?

3. I det nye lotteri blev der udstedt 1000 billetter til 1 kroon, der er en sejr på 500, to i 100, fem i 20, tyve i fem og fyrre i to kroner. Hvad er sandsynligheden for at vinde? Hvad er den matematiske forventning? Er det værd at spille?

4. For at øge sandsynligheden for at vinde i det foregående lotteri udskrev arrangørerne endnu 1000 billetter, der hver giver en præmie – retten til gratis nybillet (hvis billetene løber ud, returnerer 1 krone). Nu er sandsynligheden for at vinde mere end halvdelen. Hvad er det lig med? Hvordan har forventningen ændret sig? Er det værd at spille nu? Og hvis hver ny billet gjorde det muligt at få to billetter gratis?

5. Overvej et eksempel fra en artikel med 40 tusind og uden en tredjedel regel.Vis at 35 er maksimum for, hvad der kan indstilles for første gang. Og hvad er minimum?

Fig. 7

6. Ted tegnet et billede til Bill (figur 7) for at vise ham de mulige første spil (i et spil uden en tredjedel). Tjek det på din løsning på det foregående problem. Hvordan fik han det? Tegn et lignende billede for sagen, når fire spil er tilladt.

7. Overvej sagen om et vilkårligt antal tilladte spil. Antag ikke-heltalstal, bestem det mulige interval for den første indsats med det oprindelige beløb x. Tegn en graf for den forventede værdi af resultatet af det oprindelige beløb.

8. Overvej et eksempel i en artikel med 54 tusind og en tredjedel regel. Antag en spiller indsatser nøjagtigt en tredjedel, fortsætter med at gøre det i tilfælde af en sejr, og sætter alt, hvis han taber. Beregn den forventede værdi af resultatet og sørg for at den er væsentligt mere end 52 124. Hvor bedrager Ted den tillidsfulde ven i hans tankegang? Hvad er det bedste resultat du kan få? Er det rentabelt for en besøgende at spille med et sådant beløb?

9. Begyndende med hvilket beløb at spille i casinoet "True win" bliver urentabel?

10. Hvad er den oprindelige mængde af den maksimale forventede gevinst?

11. Hvad er den bedste måde at spille for et givet beløb, og hvad er den forventede værdi af resultatet?

12. Baronen har 90.000 og vil være glad, hvis han modtager maksimum 100.000, og er meget ulykkelig – ellers (selvom han vinder). Hvordan skal han spille bedre? Og hvis han har et andet indledende beløb? Og hvis der er mere end tre spil?


1 Roulettehjulet har 37 celler: 18 rød, 18 sort og en grøn. Når man spiller for farve, satser hver spiller på en af ​​farverne. Kropperen starter en bold, der stopper i en celle. Hvis en spiller satse på rødt eller sort og gættede, får han et dobbeltspil. Hvis han satse på det grønne felt (nul) og gættede, vil gevinsten være 36 gange mere end det indstillede beløb. Hvis farven ikke gættes, mister spilleren sin indsats.
2 At miste er en sejr med et minustegn.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: