Copernicus sætning eller Robot støvsuger

Copernicus sætning eller Robot støvsuger

Sergey Dorichenko
"Quantic" №12, 2016

I Quantum nummer 5, 2016 blev opgaven offentliggjort:

En robot støvsuger, der har form af en cirkel, kørte over et plant gulv. For hvert punkt i robotens grænsekreds kan du angive en linje, hvor dette punkt forblev under hele bevægelsestiden. Er det nødvendigt, at robotens centrum forblev på en lige linje under hele bevægelsens tid?

Overraskende nok er svaret negativt – centret kunne ikke bevæge sig i en lige linje! Vi vil give flere løsninger, vi begynder langt fra, men vi vil finde ud af en masse interessante ting undervejs. Beslutningen i gang, se tegneserien "Killing på trappen."

Kvantisk på trappen

Lad en stige være lodret fastgjort til væggen, hvor en Quantic sidder ubevægelig (sidebilledet er vist i figur 1). Trappen flytter ned – den nedre ende bevæger sig langs gulvet til højre, og den øvre ende bevæger sig ned ad væggen (figur 2) – indtil den ligger på gulvet (figur 3). Hvad er den kvantiske linje?

Fig. 1, 2, 3

Lad Oh – Et punkt under trappen, hvor væggen og gulvet mødes. Bemærk at i begyndelsen og i slutningen af ​​stien er Quantic fra punktet O i samme afstand, svarende til halvdelen af ​​trappens længde.

Og hvad vil der ske i enhver mellemstilling (figur 4)? Udfyld trekanten Eventuelt til rektangel OACB. Quantik er placeret ved skæringspunktet mellem diagonalerne af dette rektangel (figur 5). Da diagonalerne er lige og skæringspunktet er delt i halvdelen, OK – Det er halvt AB. Det viser sig, at afstanden fra Quantika til punktet O altid det samme.

Fig. 4, 5

Så Quantic er altid på en cirkel centreret på O og en radius af en halv stige, mere præcist en fjerdedel af denne cirkel (blå linje i figur 6).

Er der en kvante på hvert punkt på denne linje? Selvfølgelig, ja: Quantum bevæger sig "kontinuerligt" og kan ikke "savne" noget punkt i den blå bue. Du kan endda til hvert punkt K Tegn den tilsvarende position af stigen på buen: strække OK op til OC (fordobling) og færdiggørelse af rektanglet.

Så er Quantica stien en kvart cirkel (figur 6).

Fig. 6, 7

Men hvad har det runde vakuumproblem at gøre med det? Vi sætter en støvsuger i trappen, afgrænset af en rød cirkel (figur 7), så stigen er diameteren af ​​denne cirkel (Quantic sidder derefter i midten). Sammen med de bevægende trapper, vil cirklen bevæge sig og cirklen. I dette tilfælde vil to punkter i en cirkel – trappernes ender – bevæge sig langs lige linjer (væg og gulv), og midten af ​​cirklen (Quantik) vil ikke bevæge sig i en retlinie, men langs en buet!

En cirkel ruller på den anden.

Fig. 8, 9

Det viser sig, at de øvrige punkter i den røde cirkel vil bevæge sig langs lige linjer. For at bevise dette har vi brug for en anden cirkel – med centrum på det punkt O og en radius svarende til længden af ​​stigen (den er markeret grønt i figur 8). Nu vil vi bevise at den røde cirkel bare vil rulle på grønt (uden at glide). Overvej for eksempel placeringen af ​​den røde cirkel vist i figur 9: trappen NO flyttet til position ABKvanten sidder ved K (Bemærk at den røde cirkel altid går igennem O). Dobbel segmentet OKudvide den til OC. punkt C vil være både på de røde og grønne cirkler. Markér midten L bue AC (Figur 10). Klare hjørner LKC og NOC er lige (siden NO og LK parallelle). Da radius af den røde cirkel er to gange mindre end den grønne radius, den røde lysbue LC to gange kortere end den grønne lysbue NC (Figur 11). Men så dobbelt så stor som LCrød bue AC svarende til den grønne lysbue NC.

Fig. 10, 11

Det betyder, at den røde cirkel ruller på grønt uden at glide: Den grønne afstand fra punktet N til punktet for cirkelernes tangens er altid lig med den røde afstand fra En til berøringspunktet.Men hvis nogle punkter i den røde cirkel bevæger sig i en lige linje, så også de andre – den røde cirkel ruller jævnt langs den grønne, og alle punkter i den røde cirkel er ens. At finde ud af, hvad lige et bestemt punkt bevæger sig. X Den røde cirkel du kan vente på når X vil falde på den grønne cirkel, og i dette øjeblik forbinde en lige linje O og X.

Vi har bevist Copernicus sætning: Hvis cirklen ruller på indersiden af ​​en cirkel dobbelt så stor, så forbliver hvert punkt i rullerens cirkel altid på en retlinie.

Støvsugeren rider og roterer

Vi giver en kortere løsning på det oprindelige problem – lad os på en anden måde beskrive, hvordan støvsugeren skal bevæge sig (begrænset af den røde cirkel).

Tegn en blå cirkel på bordet med midten ved punktet O og samme radius som støvsugeren. Lad os starte støvsugeren, så dens centrum K flytter jævnt langs den blå cirkel, mens støvsugeren selv roteres: hvis støvsugerens centrum drejer rundt O I en vis vinkel drejer støvsugeren sig selv om sin midte i samme vinkel i modsat retning.

Med en sådan bevægelse er alle punkter i den røde cirkel ens – det er nok at bevise om nogen af ​​demat det bevæger sig langs en retlinie. Lad støvsugeren starte fra den position, der er vist i figur 12. Lad os bevise det punkt C støvsugeren (dens øverste punkt er i startpositionen) bevæger sig i en lige linje, der passerer igennem O.

Fig. 12, 13

Lad støvsugerens centrum (K) drejet i vinkel a rundt Oh (Med uret). Hvis støvsugeren ikke drejede rundt i midten, er punktet C ville stadig være forbi Kdet vil sige på en lodret retlinie, der passerer igennem K (denne imaginære situation er vist i figur 13). Men vi skal stadig vende om C i vinkel a i modsat retning. Hvor vil C efter det?

Siden punktet K den blå cirkel, der ligger over dens centrum, drejede i en vinkel a i retning med uret, flyttet fra den venstre lodrette linje til højre, så er punktet Cligger over midten af ​​den samme røde cirkel, drejer i samme vinkel α mod uret, vil bevæge sig fra den højre lodrette linje til venstre! Problemet løst.

Interessant faktum

Fig. 14

Lad os vende tilbage til Quantic-problemet. Og hvad nu hvis han ikke vil sidde midt i trappen, men på et andet tidspunkt (ikke i enderne)? Derefter vil kvantiteten af ​​kvantitet være en kvart af en ellipse (figur 14).Mange andre interessante fakta findes i bogen "Straight lines and curves" af N. B. Vasiliev og V. L. Gutenmakher (Moskva: ICME, 2016), baseret på introduktionen, som denne artikel blev skrevet på.

Opgaver til selvtest

I problem 1-3 ruller den røde cirkel indefra langs den grønne cirkel med to gange radiusen.

  1. Lad os i begyndelsen af ​​tiden røre ved vores cirkler på det punkt N rød cirkel. Hvor bliver punktet Nnår den røde cirkel "vil passere" a) en kvart af den grønne cirkel; b) to fjerdedele af det c) dens tre fjerdedele g) hele den grønne cirkel?
  2. Hvor mange drejninger vil gøre den røde cirkel omkring sit center, en tur en gang rundt om den grønne cirkel?
  3. Lad en myr løbe i opgave 2 langs den røde cirkel, så den altid er i spidsen for cirklerne. Hvor mange gange vil han løbe rundt om den røde cirkel omkring omkredsen?
  4. Vi tilføjer en vilkårlig ret trekant til glidende trappe i Figur 1, så trappen er dens hypotenuse. Hvordan vil toppen af ​​den rigtige vinkel bevæge sig?
  5. a) På bordet er en mønt (mønt med 5 rubler). En anden penny rulles på ydersiden af ​​denne øre (uden at glide).Hvor mange drejninger vil han gøre i forhold til sit center, vender tilbage til startpositionen?
    b) Løs det samme problem, hvis der er to pennies på bordet, rører ved hinanden, og den tredje penny ruller på deres yderside og rører dem igen.
    c) Og hvor mange drejninger vil mønten gøre, rullende på ydersiden af ​​de tre pentacler, der berører hinanden?

Kunstner Maria Useinova


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: