Den tyngste hvide dværg • Hayk Hakobyan • Populære videnskabsopgaver på "Elements" • Astronomi

Den tyngste hvide dværg

I slutningen af ​​deres livsrejse bruger hovedsekvensstjernerne det meste af deres brintforsyning, hvorfor det indre tryk taber evnen til at holde tyngdskomprimeringen af ​​skallen (se hovedsekvensopgaven). For stjerner med masser op til 8 gange solens masse kan der være to resultater i denne situation. I det første tilfælde kan kernen kollapse indtil det øjeblik, hvor trykket af kvante-degenererede elektroner standser sammenbruddet, og drejer kernen til en hvid dværg. I det andet tilfælde, selvom trykket af degenererede elektroner ikke stopper sammenbruddet på grund af stoffets store tyngdekraft, vil kernen krympe endnu mere, mens der ved høj temperatur og tryk neutroner er kvantegenereret, hvis tryk allerede balancerer sammenbruddet, dannes en neutronstjerne.

Fig. 1. Livscyklussen af ​​en stjerne. På grund af tilfældige udsving i gasstøvskyen kan fortykning af stoffet dannes, som gradvist stiger i størrelse. Så glober vises. Hvis massen af ​​kuglen er nok til tyngdekraftskompression, så kan stjernedannelsesprocessen begynde i den. I slutningen af ​​livet bliver stjernen i hovedsekvensen til en rød kæmpe, hvis skæbne (mere præcist døden) bestemmes af massen.Utilstrækkelig massive stjerner falder sammen i en neutronstjerne eller en hvid dværg, og den tyngste stopper ikke og falder sammen yderligere i et sort hul. Billede fra futurism.com

I dette problem foreslås det fra de første principper at bestemme, hvad den maksimale masse af en hvid dværg kan være. For at gøre dette skal man huske på, at en stjernes energi bestemmes af summen af ​​termisk og tyngdekraft

\ [E _ {\ rm tot} = E _ {\ rm T} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

I tilfælde af en hvid dværg, da alt det modsatte tyngdekraftstryk bestemmes af degenererede elektroner, ET – dette er den termiske energi af elektroner.

Energien i en relativistisk partikel er skrevet som:

\ [E = \ sqrt {m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2}, \]

hvor m – partikelmasse p – hendes impuls. Desuden for en ikke-relativistisk (langsom) partikel E = mc2, som det skal være (den kinetiske energi tages i betragtning i den følgende dekomponeringsorden) og for en ultrarelativistisk partikel (hurtig, hvis kinetiske energi er meget større end restenergien), har vi E = pc.

Vi antager, at alle elektroner i sådan en kritisk tung hvid dværg er ultrarelativistiske, det vil sige for dem Ee = pec. Så vil den samlede termiske energi af elektronerne være lig med ET = Npechvor N – Antallet af elektroner, og pe – en bestemt gennemsnitlig værdi af pulsen for hver af dem.

For at estimere den gennemsnitlige momentum bruger vi det faktum, at alle elektroner er degenererede. For degenererede elektroner, såvel som for partikler med en heltal-spin-værdi, gælder Pauli-udelukkelsesprincippet. To elektroner med lige spidser kan ikke optage samme tilstand.

For at forstå, hvad det betyder, skal du give den såkaldte fase plads til sagen, når der kun er en rumlig koordinat x. Dette rum er et koordinatplan med akser. px og x. Punktet \ (p_x ^ 0 {,} ~ x ^ 0) \) i et sådant rum angiver en partikel med momentum \ (p_x ^ 0 \) placeret ved punktet \ (x ^ 0 \) (figur 2). For tre rumlige dimensioner er faserummet seks-dimensionelt, og det er allerede svært at tegne det.

Fig. 2. Faseplads i tilfælde af en enkelt rumlig koordinat x. Et punkt i et sådant rum repræsenterer en partikel med en specifik koordinat og en vis momentum.

Når det drejer sig om kvante-degenererede partikler, er et sådant faseområde opdelt i celler, som hver ifølge Heisenberg-usikkerhedsprincippet har et volumen \ (\ Delta p \ Delta x \ sim \ hbar \) (figur 3). Kun to elektroner (med modsatte spins) kan "put" i en sådan kvantecelle.og resten af ​​elektronerne bliver nødt til at være overfyldte allerede i de nærliggende celler.

Fig. 3. Faseplads for en rumlig koordinat. I tilfælde af kvantdegenererede partikler er volumenet af mindste celle \ (\ hbar \) (i det tredimensionale tilfælde, som du måske gætter, er det \ (\ hbar ^ 3 \))

Således vil elektronerne i rumfanget af pulser (en del af fuldfasens rum) optage alle cellerne (to for en) op til en vis impuls, der kaldes Fermi momentum pF. Der er simpelthen ikke flere elektroner over denne momentum, og under alle celler er der optaget af to elektroner (figur 4). Således vil den gennemsnitlige (eller karakteristiske) elektronmoment være lige pF/2.

Fig. 4. Tredimensionelt pulsrum. Alle partikler med et halvt heltal spin besætter celler, hvis moment ikke overstiger Fermi-momentet. Sådanne celler danner en slags "kugle"

Så det samlede antal elektroner N svarende til det samlede fasevolumen (i seksdimensionelt rum) divideret med volumenet af en sådan celle:

\ [N = 2 \ frac {\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Koefficient 2 opstod på grund af muligheden for to elektroner pr. Celle, er \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \) størrelsen på en celle, og \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \) er det samlede fasevolumen.

opgave

1) Forudsat at kernen af ​​stjernen er elektrisk neutral og hovedsagelig består af hydrogen, udeladelse af alle de numeriske koefficienter, finde maksimal masse af en hvid dværg (massen af ​​Chandrasekhar). Udtryk det i masser af solen.
2) I betragtning af elektroners ikke-relativistiske, finde afhængighed af den maksimale radius af en hvid dværg på sin masse.


Tip 1

Da stjernens anliggende er elektrisk neutral, kan man nemt forholde sig til stjernens masse og antallet af elektroner.


Tip 2

Tænk på den tilstand, hvor stjernen vil være stabil ved fuld energi. Ved hvilken masse (eller radius, hvis vi taler om anden del af problemet) er denne betingelse krænket? Bemærk, at svaret i det første tilfælde skal være uafhængigt af radius.


beslutning

For det første, da stjernen som helhed er elektrisk neutral, skal antallet af elektroner omtrent svare til antallet af protoner (faktisk selvfølgelig afhænger det af sammensætningen, men vi udelader de numeriske koefficienter). Da protoner hovedsagelig bidrager til stjernens masse, vil antallet af protoner (såvel som antallet af elektroner) være N = M/mp.

Disse elektroner skal "pakkes tæt" i overensstemmelse med Pauli-princippet i enhedsceller i seksdimensionelt faseområde.Med andre ord skal det samlede antal elektroner være lig med det totale fasevolumen divideret med enhedens cellevolumen (med en faktor 2, men vi udelader det)

\ {\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z) (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)} {{\ Delta x \ Delta y \ Delta z) (\ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z)} = \ frac {V (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Volumenet af en enhedscelle \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \ sim \ hbar ^ 3 \), det rumlige volumen \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ sim R ^ 3 \), og "volumen", der optages af partikler i pulseringsrummet, som allerede nævnt ovenfor, er lig med \ (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \ sim p_F ^ 3 \). Således har vi

\ [\ frac {M} {m_p} \ sim \ frac {R ^ 3 p_F ^ 3} {\ hbar ^ 3}, \]

hvor finder vi det

\ [p_F \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {R m_p ^ {1/3}}. \]

Som nævnt ovenfor vil elektronerne have alle mulige impulser op til den begrænsende Fermi-momentum. pF, på grund af hvilket vi kan tage det som en karakteristisk (gennemsnit) værdi. Den samlede energi skrives derefter som

{R} \ sim \ frac % {R} \ left (\ frac {c \ hbar M ^ {4/3} } {m_p ^ {4/3}} – GM ^ 2 \ højre). \]

Bemærk, at stjernens samlede energi faktisk afhænger af to parametre – massen M og radius Rmens kun masse bestemmer dens tegn. værdi

\ {M} % % {m_p ^ 2} \ venstre {\ frac {c \ hbar} {G} \ højre) ^ {3/2} \ sim 1 { M_ {Sun}, \]

som også hedder Chandrasekhar-massen, er grænsen mellem negativ og positiv total energi. En mere præcis beregning med realistisk kemisk sammensætning giver værdien \ (M _ {\ rm Ch} = 1 {,} 46 ~ M_ {Sun} \).

Ved \ (M> M _ {\ rm Ch} \) er stjernens samlede energi negativ og proportional med 1 /Rhvilket betyder mindre værdier R vil give en mere stabil tilstand af stjernen, som den vil stræbe efter. Dette betyder "uendelig" sammenbrud i retning af en mindre radius. Hvis kerne er større end denne grænsemasse, vil den derfor falde sammen yderligere.

Problemet er imidlertid, at med \ (M <M _ {\ rm Ch} \) er den samlede energi positiv, og det betyder, som det er kendt, udvidelsen af ​​systemet, det vil sige en stigning i radiusen (for at minimere Etot). Bemærk dog, at \ (p_F \ propto 1 / R \), Fermi-momentet vil falde, da radiusen stiger.

I løsningen antog vi, at partiklerne er ultrarelativistiske og for dem \ (p_Fc \ gg m_e c ^ 2 \), men denne antagelse kan dog brydes med en tilstrækkelig lille \ (p_F \ sim m_e c \), det vil sige, R > R0hvor

\ [R_0 \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {m_p ^ {1/3} m_e c}. \]

Så skal du bruge en anden formel til termisk energi, nemlig \ (E _ {\ rm T} = p_F ^ 2 / 2m_e \), som vil give os for den samlede energi udtrykket

\ {E} {\ hbar ^ 2 M ^ {5/3}} {m_p ^ {5/3} m_e R ^ 2} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

Afhængigheden af ​​den samlede energi på radius er vist i fig. 5. Som det kan ses, er der en stabil (Etot <0) minimum på R = RWDsom systemet vil stræbe efter.

Fig. 5. Graf af afhængigheden af ​​den samlede energi af den hvide dværg på radiusen (\ (MR < R0 elektroner er ultrarelativistiske og afhængighed omvendt proportional med radiusen. ved R > R0 Afhængigheden er lidt mere kompliceret og har et minimum af energi. Graf fra V. S. Beskins bog Quantum Mechanics and Astrophysics

Du kan nemt finde dette minimum (siden Etot er en firkantet dummy i forhold til 1 / R):

\ [R _ {\ rm WD} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2} {Gm_p ^ {5/3} m_e M ^ {1/3}}. \]

Hvis vi erstatter massen af ​​Chandrasekhar i stedet for masse, får vi noget i en ånd på 5000 km, det vil sige en solmassestjerne Jordens størrelse.


efterskrift

Naturligvis gør sådan en triviel analyse "på fingrene" ikke en præcis kvantitativ beskrivelse. Men underligt nok, kvalitativt og endda kvantitativt, i størrelsesorden er svarene korrekte. Når alt kommer til alt under kollapsens sammenbrud på noget tidspunkt, sænker elektronernes kvantegenerering "på".

Hvis kernens masse er større end Chandrasekhar-grænsen, er dette tryk i ultrarelativistiske degenererede elektroner ikke i stand til at standse komprimeringen, og stjernen vil kollapse yderligere ind i en neutronstjerne. Ellers vil der blive etableret en vis balance mellem trykket af degenererede ikke-relativistiske elektroner og tyngdekraft, hvorved minimum af den samlede energi vil blive realiseret.

Den maksimale masse af Chandrasekhar er af meget praktisk betydning.Supernovae af den første type (Ia) opstår i double accreting systemer, hvor materie fra en massiv ledsager stjerne til en nærliggende hvid dværg. En simulering af en sådan proces vises i videoen:

På grund af det lækkede stof øges den hvide dværgs masse og kan på et tidspunkt overstige Chandrasekhar-grænsen. Så begynder en yderligere sammenbrud, og systemet eksploderer som en supernova Ia. På grund af det faktum, at vi ved præcis, hvilken masse denne eksplosion forekommer (1,44-1,46 solmasser afhængigt af sammensætningen og andre faktorer), kan vi forudse eksplosionens energi og varighed.

At kende energi og varighed teoretisk er det muligt med høj nøjagtighed at bestemme afstanden til eksploderende supernova. Dette gør type Ia supernovaer kendt som "standard stearinlys", hvis parametre er kendt for os på forhånd. Især ved at analysere meget fjerne supernova eksplosioner Ia i slutningen af ​​det 20. århundrede viste det sig at vores univers ekspanderer med acceleration.

I begyndelsen af ​​forordet nævnte vi, at den anden "grænse" foran det sorte hul til en sammenfaldende stjerne er en neutronstjerne. Derved standser trykket af degenererede neutroner (også partikler med et halvt heltalspin) tyngdekraftskomprimeringen af ​​stjernen.Ligesom i hvide dværge har neutronstjerner en ultimativ masse, der kaldes Tolman-Oppenheimer-Volkov-grænsen, TOV (Tolman-Oppenheimer-Volkoff-grænsen).

Afledningen af ​​denne værdi kræver imidlertid at tage hensyn til virkningerne af den generelle relativitet, da dimensionerne af et sådant system (ca. 10 km) er sammenlignelige med dimensionerne af Schwarzschild-arrangementshorisonten for et objekt af solmasse (\ (2GM / c ^ 2 \ sim 3) km). Desuden er der behov for meget nøjagtige regnskaber for stærke vekselvirkninger mellem nukleoner for sådanne store tætheder (densiteten af ​​en neutronstjerne tættere på centret overstiger densiteten af ​​atomkernen). Dette komplicerer i høj grad beregningen af ​​den maksimale masse af TOV, men det antages, at den reelle værdi er et sted mellem 1,5 og 3 solmasser.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: