Fantastiske sekvenser i Pythagoras bord

Fantastiske sekvenser i Pythagoras bord

Ivan Maslennikov
"Quantic", nr. 12, 2014

Artiklen er baseret på kurset på matematikafdelingen på Summer Ecological School (LES).

Alle engang lærte at formere sig (og nogen, måske og nu studerer) og i hvert fald så Pythagoras bord. I lærebøger tegnes det ofte med en størrelse på 10 × 10, selv om det er muligt at fortsætte bordet til uendelig.

Ved første øjekast ser det ud til, at der ikke er noget interessant i Pythagorean-bordet – tallet i rækken multipliceres med tallet i kolonnen, og resultatet er skrevet i den tilsvarende celle. Derfor er det ikke svært at gætte, hvor meget de nærliggende tal er forskellige i hver kolonne eller række (svar: til henholdsvis en række eller en kolonne).

Og hvad nu hvis vi tager bordets diagonaler? For eksempel går hoveddiagonalen gennem cellerne 1, 4, 9, 16 … (i figuren er de malede i gul). Det kan ses, at alle tallene på denne diagonale er firkanter. Dette er forståeligt, vi multiplicerer række nummeret med det samme kolonne nummer: N · N = N2. Så vi kan forudsige det på forhånd NNummeret på diagonalen bliver nummeret N2.

Tallene på den anden diagonale (ved siden af ​​hoveddiagonalen) ser mere vanskelige ud: 2, 6, 12, 20, 30, … (i figuren er de malet i grønt). Hvilke mønstre følger de?

Fra opførelsen af ​​det pythagoranske bord er det klart, at N-det tal i denne sekvens er lig med N · (N + 1) eller N2 + N. Med andre ord N-det tal på den anden diagonale er større Npå hoved diagonalen er nøjagtigt på N:

Det er forståeligt – disse to tal er trods alt i en linje.

Tallene på den næste (tredje) diagonale (3, 8, 15, 24, …) ligner noget. Ja, disse er kvadrater reduceret med en: 3 = 22 − 1, 8 = 32 − 1, 15 = 42 – 1 og så videre!

Det er ikke svært at bevise. Trods alt N-det tal på den tredje diagonale er lig med N · (N + 2), det vil sige N2 + 2N. Hvis du tilføjer 1, får du N2 + 2N + 1, og det er bare (N + 1)2. Så det viser sig at N-det tal på den tredje diagonale er lig med (N + 1)2 − 1.

Og hvad nu hvis vi tager diagonalen vinkelret på den vigtigste? For eksempel passerer gennem tallet 100 (i figuren er det malet i blåt).

Lad os se på de tal, der ligger på denne diagonale på højre over 100 (de falder sammen med dem til venstre nedenfor): 99, 96, 91, 84 …

Hvad er mønsteret her? Lad os prøve at sammenligne disse tal med et hundrede:

Wow! Forskelle er kendte firkanter. Lad os tænke over, hvordan det skete? Husk først, at et hundrede kvadrat i sig selv er: 100 = 10 · 10. Fra hundrede bevæger vi hvert trin til højre og op. Derfor reduceres rækkenummeret med et, og kolonneantalet øges med en. Og så videre hvert trin. Derfor på Ntrin, vi får et nummer (10 – N)·(10 + N) = 100 − N2lige på N2 mindre end hundrede.

Fungerer det med alle diagonalerne? Tag et andet tal, for eksempel 35. Lad os trække igennem det diagonale vinkelret på den primære. Vælg det største nummer på diagonalen (det vil være i midten) – 36. Lad os se på forskellen mellem 36 og de andre tal på diagonalen: 1, 4, 9, 16, … Det virker!

Ok. Tag et andet tal, for eksempel 50. Lad os tegne en diagonal gennem den, vinkelret på den primære. Vælg det største nummer på diagonalen … Stop! Ja, der er to af dem der: 56 og 56. De står ved siden af ​​hinanden, begge i midten, og ingen af ​​dem er firkantede. Hvad skal man gøre i en sådan situation, og hvordan skete der nogensinde?

Før dette kom vi på tværs af diagonaler, der har et gennemsnitligt tal, og det er også det største – det er diagonaler, hvor der er et ulige antal celler. Men i diagonalen med et lige antal celler i midten er der ikke et tal, men et par lige tal. Vi har nu lige sådan en diagonal.

Men hvad nu hvis du stadig gør den samme operation for hende som med de tidligere diagonaler? Lad os se på forskellen mellem det største antal på diagonalen (56) og tallene der følger efter (vi flytter igen til højre og op):

Wow! Du har sikkert allerede bemærket, at disse er tal fra den grønne diagonal af det første mønster. Gæt hvorfor?

Opgaver til selvopløsning

1. Lad os tegne i det pythagoranske bord enhver diagonal vinkelret på den primære. Bevis at tallene på det er alle mulige værdier af området af et rektangel med integrerede sider og en bestemt omkreds. Hvad er denne omkreds lig med?

2. Tag et nummer N på hoveddiagonalen. Lad os tilføje alle tallene på denne diagonal, der står til venstre ovenfor, og alle tallene for den vinkelrette diagonal passerer gennem N, står øverst til højre (som i anden figur). Hvad sker der?

3. (Sergey Prika). I Pythagorean-bordet blev der identificeret en rektangulær ramme med en tykkelse på en celle, hver side af rammen bestående af et ulige antal celler. Ramcellerne blev skiftevis farvet i to farver – gul og grøn. Bevis at summen af ​​alle tallene i de gule celler er lig med summen af ​​tallene i de grønne celler.

Kunstner Artyom Kostyukevich


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: