Gruppeteori er videnskaben om perfektion. Gruppe aksiomer

Gruppeteori – The Science of Excellence

Evgeny Vdovin

  • introduktion
  • Nogle initial definitioner og notation
  • Gruppe aksiomer
  • Gruppe eksempler
  • konklusion

Gruppe aksiomer

I dette afsnit slutter tekst, som ikke begynder med . De næste to afsnit er de sidste afsnit, for hvilke læsning ikke er nødvendig for at gøre en særlig indsats.

Overvej den samme biograf i amtstaden N og antag at det på en af ​​sessionerne var publikums opfattelse at arrangere en udveksling af billetter ifølge en regel. For eksempel ændres første række af hver række med andet, tredje med fjerde osv. Som følge heraf forbliver alle på den ene side "med sine egne" – alle har en billet og på den anden side lykkedes alle at ændre deres sted. Hvis vi nu bytter efter en anden regel, så er den tredje, så resultatet – alle har nøjagtig en billet – vil ikke ændre sig. I dette tilfælde kan landingsordren ændres ret stærkt sammenlignet med den oprindelige. Således er sådanne forandringer symmetrier på mange steder (eller mere præcist mange tilskuere), og uanset hvor mange gange vi bærer dem ud, er hovedtræk, at hver seer har nøjagtig en billet, ikke ændret.Hvis den sekventielle udførelse af kortudveksling kaldes "multiplikation" (selv om den er meget langt fra den reelle multiplikation, som vi alle er vant til), udgør sæt af alle udvekslinger med sådan "multiplikation" en meget vigtig algebraisk struktur – en gruppe. Generelt er enhver gruppe et sæt symmetrier af et objekt (sæt), som multiplikation er givet, og det blev netop gjort med billetudvekslinger – sekventiel udførelse.

Således er symmetri-gruppen af ​​en genstand jo større, desto mere symmetri har den. Det minder om, at jo flere symmetrier jo mere perfekt objektet får vi, at størrelsen af ​​symmetriernes gruppe spiller rollen som måling af perfektion af en bestemt genstand. Overvej de almindelige former på flyet: en trekant, en firkant, en sekskant og en cirkel. De er alle symmetriske figurer, men de er symmetriske på forskellige måder. Så trekantet har kun seks symmetrier: en rotation omkring midten af ​​massen (skæringspunktet for medianerne) i en vinkel, der er et multipel på 120 grader (sådan svinger 3) og en refleksion i forhold til nogen af ​​dets medianer (der er også 3 sådanne refleksioner). Pladsen har allerede otte symmetrier: en drejning om midten (skæringspunktet mellem diagonalerne) i en vinkel, der er et flertal på 90 grader (der er allerede 4 sådanne sving)og også symmetri med hensyn til enhver diagonal (der er to af dem) og en hvilken som helst lige linje der forbinder midterpunkterne på modsatte sider af pladsen (der er også to af dem). Sekskantet har allerede 12 symmetrier (vi tilbyder læseren til at liste dem alle), og symmetrikretsen har et uendeligt tal – dette er en tur i enhver vinkel og symmetri med hensyn til enhver retlinie, der passerer gennem midten af ​​cirklen. Således er den mest perfekte figur en cirkel, så en sekskant, efterfulgt af en firkant og den mindst perfekte figur er en trekant.

til slutningen

Lad G – et vilkårligt sæt og antage, at det er givet nogle binære (dobbelt, fra to argumenter) operation "·", som regel kaldes ved multiplikationsom for alle to elementer en, b af dette sæt forbinder entydigt med dem elementet betegnet en · b eller bare ab. Med dette element ab Det opfordrede produktet element en og b. Hvis følgende tre betingelser desuden er opfyldt (kaldet gruppe aksiomer):

(Tr1)
for nogen tre en, b, c af G sand ligestilling (ab)c = en(bc) (associativitetsloven)

(GR2)
der er et sådant element edet for enhver genstand en af G sand ligestilling ae = ea = en (eksistensen af ​​en enhed); et sådant element e Det opfordrede af en gruppe;

(GR3)
for enhver genstand en af G der er et sådant element bdet er sandt ligestilling ab = ba = e (eksistensen af ​​det omvendte); et sådant element b Det opfordrede invers for a og betegnes af en-1;

så meget G i forhold til multiplikationsoperationsformularerne gruppen. Hvis der samtidig opnås et mere aksiom:

(GR4)
for alle varer en, b af G sand ligestilling ab = ba (kommutativitetslov)

så kaldes gruppen kommutativ eller Abelian. Eksempler på forskellige grupper, såvel som naturlige situationer, hvor grupper opstår, vil vi citere nedenfor. Tydelige eksempler er sæt af heltal ved addition, sæt af ikke-rationelle tal ved multiplikation osv. Bemærk nogle enkle konsekvenser af gruppens aksiomer: enhedselementet og det inverse element er entydigt bestemt. Antag faktisk, at der er to enhedselementer e1, e2, så giver anvendelsen af ​​aksiomet (GR2) os følgende kæden af ​​ligheder e1 = e1e2 = e2. Tilsvarende, hvis for noget element en der er to omvendte b1, b2, så får vi ved hjælp af aksiomerne (GR1) – (GR3) følgende kæden af ​​ligeværdier b1 = b1e = b1(ab2) = (b1en)b2 = eb2 = b2.

hvis M – vilkårlig undergruppe af gruppen Gså kan vi overveje multiplikationsoperationen på sættet M, som er en kortlægning ·: M × MG. Drift på et sæt M vi vil ringe induceret operation. delmængde H grupper G Det opfordrede undergruppehvis det selv er en gruppe med hensyn til den inducerede operation. Det er let at verificere, at en delmængde er en undergruppe, hvis den er lukket med hensyn til produktet (dvs. for enhver to h1, h2 H elementet h1 · h2 ligger igen i H) og er lukket med hensyn til at tage omvendt (dvs. h H elementet h-1 ligger igen i H). Kort fortalt er det skrevet som HH H og H-1 H. Yderligere udtalelse "H er en undergruppe af en gruppe G"Vi vil skrive kort som følger HG.

Lad G er en vilkårlig gruppe H – dens undergruppe og g – vilkårlig gruppeelement G. En masse Hg = {hg | h H} Kaldes tilstødende klasse (højre tilstødende klasse) element g. Vi introducerer relationen g1g2 (mod H) på gruppen af ​​elementer af gruppen G ifølge reglen: g1g2 (mod H) i det og kun hvis Hg1 = Hg2. Brugen af ​​en notation svarende til forholdet mellem delbarhed for heltal (se ovenfor) er ikke tilfældigt, da delingsforholdet er et specielt tilfælde af lighed mellem tilstødende klasser. Faktisk, som en gruppe G sættet er taget heltal ved addition og som undergruppe H en delmængde er taget k tal, der kan deles af k. Det er indlysende, at den relation, der er defineret af os, er en ækvivalens, er sæt af ækvivalens klasser betegnet af G / Hmagt |G / H| sæt af ækvivalens klasser er også betegnet som |G : H| og kaldes efter indeks undergrupper H i en gruppe G. Naturligvis for nogen g G fair |Hg| = |Hhvor vi straks bliver vigtige Lagrange sætning: |G| = |G : H| · |H| I særdeleshed opdeler rækkefølgen af ​​en undergruppe altid rækkefølgen af ​​en gruppe.

På sæt G / H Du kan naturligvis definere multiplikationsoperationen: Hg1 · Hg2 : = Hg1 · g2. For at definitionen skal være korrekt, dvs. at ligestillingen af ​​sætene Hg1 · Hg2 = {h1g1 · h2g2 | h1, h2 H} og Hg1 · g2 = {hg1 · g2 | h H}, er det nødvendigt og tilstrækkeligt for enhver g G ligestilling blev opfyldt g-1Hg = {g-1hg = h | h H} = H (denne betingelse vil vi skrive ned HG H). ekspression g-1Hg Det opfordrede konjugation ved hjælp af elementet g og ofte betegnet Hg. ekspression GHG-1 = Hg-1 vi vil registrere gH. undergruppe Hopfylder betingelsen HG HDet kaldes normal undergruppe af gruppen G (betegnet af H G) og den resulterende gruppe G / H Det opfordrede faktor gruppe grupper G efter undergruppe H. Begreberne for en normal undergruppe og en faktorgruppe er blandt de vigtigste grupper i teorien, fordi de tillader delvist at reducere undersøgelsen af ​​grupper til mindre grupper (delvis fordi de ifølge H og G / H gruppen G bestemt tvetydigt). En gruppe, der ikke indeholder normale undergrupper, hedder simpel.

Det er klart, at krydset mellem et hvilket som helst antal undergrupper er en undergruppe igen. Dette giver os mulighed for at bestemme undergruppe genereret af M, som den mindste undergruppe, der indeholder en delmængde Mdvs. skæringspunktet for alle undergrupper i en gruppe Gindeholdende mange M. Undergruppen genereret af sættet Mvil blive angivet M. Let at kontrollere det M er et sæt af alle slags produkter af elementer fra M og tilbage til dem. Gruppe genereret af et element en Det opfordrede cykliskog hendes ordre |en| : = |en| Det opfordrede i rækkefølge element en. Det er nemt at kontrollere, at rækkefølgen af ​​et element er det mindste antal. nfor hvilke er e. Fra Lagrange sætningen følger det af, at orden af ​​et element altid deler rækkefølgen af ​​en gruppe.

I slutningen af ​​dette afsnit præsenterer vi begrebet isomorfisme af grupper. hvis G, H – gruppe, derefter kortlægning φ : GHbevaringsoperation (dvs. for alle g1, g2 G færdig (g1 · g2)φ = g1φ · g2φ) kaldes homomorfi, sæt Ker (φ) = {g G | = e} Kaldes kerne af homomorfisme, og mange = { | g G} Kaldes billede af homomorfi. Hvis Ker (φ) = {e} og = Hdvs. hvis φ er en vedektion, så kortlægningen φ Det opfordrede isomorfiog grupper G og H isomorf (betegnet af G H). Homomorfis sætningen siger det H = Ker (φ) – normal gruppeundergruppe G og G / H. Isomorfisme kan tænkes for sig selv som sådan "lighed" af to grupper, som vi ikke skelner mellem dem (selvom de i virkeligheden kan være forskellige sæt). Således studerer teorien strengt taget klasserne af isomorfisme af grupper. Bemærk, at vi i dagligdagen ofte også etablerer isomorfier med et mere eller mindre højt abstraktionsniveau. Så er der for eksempel en isomorfisme klasse af møbler, kaldet begrebet "garderobe", og vi ved nogle tegn fastslår umiskendeligt, om et bestemt objekt tilhører "garderobeskabe" eller ej. Når vi mangler et sådant højt abstraktionsniveau, falder vi ned på et lavere niveau og begynder at opdele frysere i "køkken", "bog", "garderobe" mv.Konceptet isomorfisme for grupper er blot det værktøj, som vi på vores abstraktionsniveau skelner eller identificerer objekter.


Like this post? Please share to your friends:
Gruppeteori – The Science of Excellence ">
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: