Gruppeteori er videnskaben om perfektion. Nogle initial definitioner og notation

Gruppeteori – The Science of Excellence

Evgeny Vdovin

  • introduktion
  • Nogle initial definitioner og notation
  • Gruppe aksiomer
  • Gruppe eksempler
  • konklusion

Nogle initial definitioner og notation

Vi vil forsøge at bruge så få formler og specielle matematiske symboler som muligt, men vi kan ikke undvære dem fuldstændigt. Sæt som hovedregel vil blive betegnet med latinske bogstaver, og deres elementer – små bogstaver. hvis En – mange og en – noget element, og optag derefter en En bør læse "element en tilhører mange En"; henholdsvis indgang en En betyder at "element en hører ikke til sættet En“.

Husk at begreberne sæt, element og medlemskab er de grundlæggende udefinerede begreber i moderne matematik. Ethvert sæt bestemmes af de elementer, der er inkluderet i det (som igen kan også være sæt). Så vi siger det sæt er bestemt eller specificerethvis for noget element kan vi sige, om det tilhører dette sæt eller ej. Til to sæt En, B optagelse B En, B En, BEn, B En, B \ En, En × B mener derfor B er en delmængde af sættet En (dvs. ethvert emne fra B også indeholdt i Enfor eksempel er sætet af naturlige tal indeholdt i sæt af reelle tal; udover altid En En), B er en ordentlig delmængde af sættet En (M.E. B En og BEn), kryds af sæt B og En (dvs. alle sådanne elementer, der samtidigt ligger i Enog i Bfor eksempel er krydset af heltal og positive reelle tal sæt af naturlige tal), sammenslutningen af ​​sæt B og En (dvs. et sæt bestående af elementer, der ligeledes ligger i Enenten i B), sæt forskel B og En (dvs. sæt af elementer, der ligger i Bmen lyver ikke i En), Kartesisk produkt af sæt En og B (dvs. et sæt par af formen (en, b) hvor en En, b B). Gennem |En| altid betegnet magt sæt Endvs. antallet af elementer i sættet En. Definitioner er altid fremhævet. kursivet.

Vi kan ikke undgå begreberne kortlægning, relationer og ækvivalens. Vi vil ikke give strenge logiske definitioner af disse begreber, vi vil kun forklare dem. udstilling kan betragtes som en funktion, der forbinder et enkelt element (kaldet prototypen) et andet element (kaldet måde). I livet konfronteres vi konstant med forestillingsbegrebet, for eksempel at købe en teaterbillet, hvorved vi sætter skærmen mellem billetten og et sted i teatersalen. Når vi modtager en løn, etablerer vi en kortlægning mellem arbejdet i løbet af måneden og de penge, der vil blive betalt for det. Ved at studere listerne over spillere i fodboldhold etablerer vi en kortlægning mellem spillerne og de hold, som de spiller for. Således er der meget mange mappings, næsten alt i vores liv er på en eller anden måde mappings. Der er forskellige typer specielle mappings, så følgende 3 typer vil blive brugt i teksten: Injektiv kortlægning (en injektion), surjective mapping (surjection) og vedektiv kortlægning (bijection). Injektiv kortlægning er en kortlægning, der kortlægger forskellige billeder til forskellige kildeelementer. En overordnet kortlægning er en kortlægning, hvor hvert billede har en prototype. Endelig er en vedektiv kortlægning en kortlægning, der både er injektiv og surjektiv.

Lad os forklare disse begreber med eksemplet på kortlægningen mellem en lang række billetter og et stort antal pladser i et teater.Forestil dig en biograf i amtstaden N, hvor Skjoldet og Sværdet går tusind gange. Der er naturligvis kun få, der ønsker at se det, og der er kun et par der tager to billetter i "Kiss Line". Efter at have kommet til biografen, opdager parret til deres glæde, at de er alene her, men som uddannede mennesker tager de deres steder angivet i billetene. I dette tilfælde er kortlægningen naturligvis injektiv, da forskellige billetter svarer til forskellige steder. Men det er ikke overflødigt, da vi stadig har mange tomme steder, hvor der ikke er solgt en enkelt billet. Således er en ikke-overordnet kortlægning klart urentabel for biografforvaltningen.

Forestil dig nu, at de næste dag i samme biograf i samme by lovede at lancere en ny blockbuster fra Tarantino og antydede, at Tarantino selv ville svare på spørgsmål fra publikum efter filmen. Naturligvis er billetkontorerne fulde af mennesker, og ledelsen "ved en fejltagelse" sælger to sæt billetter til de samme steder. Vi vil ikke beskrive her adskillelse på grund af et sted, der opstod i sessionen, vi bemærker kun, at displayet nu er surjektivt, da en billet blev solgt til hvert sted, men ikke injektiv, da der er to billetter til hvert sted.Således er ikke-injektiv kortlægning i direkte konflikt med forbrugernes rettigheder og falder sandsynligvis under en del af loven om beskyttelse af forbrugerrettigheder.

Nå det sidste tilfælde, kig på den samme biograf i byen N på tærsklen den 1. januar 2006. Årets udbredte første film giver igen offentlighedens agiotage, men nu forvalter ledelsen, der lært af tidligere bitter erfaring, omhyggeligt, at der sælges nøjagtigt et sæt billetter til hver session. Som følge heraf tager hver seer roligt sit sted, og hver session begynder med et fuldt hus. Således er dette sidste eksempel både et injicerende og en surjektiv refleksion, det vil sige en vedektion. Følgelig er vedektionen det gyldne middel, der er så gavnligt som muligt for direktoratet og samtidig som det er praktisk som muligt for publikum. Dette koncept med vedektion har lige været en matematisk formalisering af det intuitive koncept symmetri, som blev diskuteret i introduktionen. Derfor er det ikke overraskende, at det er en vedektion, der er den mest perfekte skærm i dette tilfælde.

udstilling fra sættet En i sættet B kalder nogle regel ved hjælp af hvilke, hvert element af En du kan matche et enkelt emne fra B. Mappings vil vi normalt betegne i græske bogstaver og skrive φ : EnBog billedet af ethvert element en En i forhold til displayet φ er optaget . En sådan rekord forekommer i første omgang usædvanlig og ubelejlig for dem, der er vant til at skrive funktioner (et særligt tilfælde af mappings) som φ(en), men for vores præsentation vil det være mere bekvemt. Hvis der er 3 sæt En, B, C og givet mappings φ : EnB og ψ : BCså kan du opbygge en kortlægning φψ : EnC hvordan sammensætning (sekventiel udførelse) mappings φ og ψ. Bemærk, at hvis vi registrerede displayet til venstre, sammensætningen φψ vi skulle læse lige til venstre på arabisk. I fremtiden vil vi have brug for følgende særlige typer kort: en injektion (skærm φ : EnB kaldes injicerende hvis for nogen anden x, y En elementer , også anderledes) surjection (skærm φ : EnB kaldes surjective hvis for nogen y B der er sådan x Enat = y), bijection (injektion og surjection på samme tid). Eksempler på mappings fra rationelle tal til rationelle kan være mappings: xx3, xx2, xx/ 2. Den første er injicerende, men ikke surjektiv, den anden er hverken surjektiv eller injektiv, den tredje er en vedektion.

Et andet vigtigt koncept for matematik er konceptet relationer. Holdning kan betragtes som en bestemt regel, som for alle to elementer (objekter, ting, levende væsener osv.) Gør det muligt at afgøre, om de er i denne henseende eller ej. I vores liv kommer vi hele tiden ind og er i vilje i mange forskellige relationer. For eksempel i forhold til slægtskab (med varierende grader af nærhed), medarbejder-arbejdsgiverens holdning, førerens passagers, sælger-køberens forhold osv. Alle disse forhold er af forskellig karakter, forskellige egenskaber og matematikstudier er nøjagtigt forholdene i forhold til, ikke tager sig af deres natur.

Vi siger det på nogle sæt En specificeret R forholdhvis for nogen to elementer en, b af En vi kan se om de er i relation R eller ej. Med andre ord, holdningen R der er en kortlægning R : En × En → {1, 0}, hvor værdien 1 svarer til "sand", og værdien 0 – "false" (bemærk at rækkefølgen, hvori elementerne er taget, er vigtige en og b).Normalt, for at betegne relationer, vil vi bruge specialtegnene ≡, ~, etc. Forholdet er bekvemt skrevet som en ~ bhvis en og b er i relation R og en bhvis en og b ikke i forhold R. Relation ~ on set En Det opfordrede ved ækvivalenshvis følgende aksiomer er opfyldt:

(EKV1)
for nogen en En færdig en ~ en (refleksivitetens aksiom);

(EKV2)
for nogen en, b af En af en ~ b skal være b ~ en (symmetriaksiom);

(EKV3)
for nogen en, b, c af En af en ~ b og b ~ c skal være en ~ c (aksiom af transitivitet).

Eksempler på relationer er forholdet mellem orden ≥ på sæt af reelle tal, forholdet mellem delelighed på sæt af heltal, ligestillingsforholdet på sæt af reelle tal, forholdet mellem ligeværdier af rester fra division med et fast naturnummer på sæt af naturlige tal. Bemærk at de to første relationer ikke er ækvivalenter, og de sidste to er. Der er et særligt navn for den sidste relation: heltal m, n kaldes sammenlignelige modulo k (skrevet som mn (mod k)) hvis nm divideret med k.

Hvis på sættet En givet et ækvivalensforhold ~, så splittes hele sæt i ækvivalens klasser – Undergrupper af parvist ækvivalente elementer, og hver to klasser skærer heller ikke sammen. Faktisk antage C1, C2 – to ækvivalens klasser og deres kryds C1C2 er ikke tom og indeholder noget element x. Så for ethvert element y C1, efter definition af ækvivalens klasse, tilfreds x ~ y. Derudover for enhver z C2, igen efter definition af ækvivalens klasse, tilfreds z ~ x. På grund af transiteringsaksiomet (betingelse (EKV3)) får vi det y ~ zmidler C1 = C2. Sætet af klasser af sættet En ved ækvivalens ~ betegnet af En / ~.


Like this post? Please share to your friends:
Gruppeteori – The Science of Excellence ">
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: