Gruppeteori er videnskaben om perfektion. Gruppe eksempler

Gruppeteori – The Science of Excellence

Evgeny Vdovin

  • introduktion
  • Nogle initial definitioner og notation
  • Gruppe aksiomer
  • Gruppe eksempler
  • konklusion

Gruppe eksempler

Eksempler på grupper, der er kendt for os fra grundskolen, er heltal, rationelle, reelle, komplekse tal ved addition, ikke-nul rationelle, reelle, komplekse tal ved multiplikation. Alle disse grupper er abelske. Et andet vigtigt eksempel på grupper er den følgende konstruktion. Lad X – vilkårlig sæt og symX – Et sæt af alle former for vedektion af et sæt X på mig selv. Indstil multiplikation med SymX som en sammensætning. Så symX vedrørende sammensætningen er en gruppe og kaldes symmetrisk gruppe på sæt X eller substitutionsgruppe (undertiden benyttes begrebet permutationsgruppe også, men det forekommer os ikke lykkedes os mere herom). Hvis mange X selvfølgelig og |X| = nså kan vi antage det X = {1, … , n} og symX betegnet af symn. Hvis Ψ er en egenskab af mappings, der bevares under sammensætning, så er en delmængde af mappings, der opfylder Ψ-egenskaben for Sym-gruppenX danner en undergruppe af symgruppenX. Vi viser at sammensætningen af ​​mappings opfylder associativitetsaksiomet (ГР1) (kontrol af de andre aksiomer er meget enklere, de følger fra definitionen af ​​en vedektion).For at bevise at sammensætningen af ​​kort er associativ, er det nødvendigt først at forstå, hvornår kortene er ens. På trods af den indlysende definition skaber det ofte vanskeligheder. udstilling φ : EnB og ψ : EnB (hvor En, B – vilkårlig sæt) er lige, hvis nogen x En hans billeder og er lige. Lad nu φ, ψ, χ symX og x X. derefter x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χpå den anden side x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χdet beviser sammensætningen af ​​sammensætningen.

Dette eksempel giver dig ikke kun mulighed for at opbygge et stort antal forskellige grupper (vi vil se alle grupper nedenfor), men viser også en bred anvendelse af gruppeteori. Hvor som helst der er mindst symmetri (det vil sige en vedektion), opstår der straks grupper. Problemerne med konstruktion ved hjælp af kompas og linjal, opløselighed af algebraiske ligninger i radikaler, differentialekvationer i primitiver mv. Reduceres naturligvis til problemer i gruppeteori. Forskellige kombinatoriske problemer reduceres til at tælle objekter, der opfylder bestemte egenskaber og igen til gruppeteori.

hvis G – gruppe X – sæt og givet homomorfisme φ : G → SymXså siger gruppen G virker på sæt X. Hvis Ker (φ) = {e}, kaldes handlingen eksakt. For at "lette" notationen vil vi identificere g med sit billede og for vilkårlig x X hans billede er relativt vil optage xg. Vi introducerer et ækvivalensforhold X i henhold til reglen: elementer x, y X er ækvivalente, hvis der er sådan g Gat xg = y. Ækvivalens klasser kaldes baner grupper G. Det siges at gruppen G handler transitivt (og præsentationen er transitiv) hvis der kun er en omgang. homomorfi φ : G → SymX Det opfordrede wildcard repræsentation grupper G (netop på grund af udtrykket "permutationsrepræsentation" betragtes udtrykket "permutationsgruppe" som mislykket, da udtrykket "permutationsrepræsentation" har en anden betydning). Hvis Ker (φ) = {e} hedder præsentationen eksakt.

Overvej nu en vilkårlig gruppe. G og dens undergruppe H. gruppe G handler på et sæt tilstødende klasser i en undergruppe H ved at multiplicere til højre: (Hg1)g2 = H(g1g2). Der er således en transitive repræsentation φ : G → SymG / H. hvis H indeholder ikke nogen normale undergrupper af gruppen Gså er denne præsentation nøjagtig. Især hvis H = {eden præsentation G → SymG/ % = SymG altid nøjagtig og kaldet regelmæssig gruppe præsentation G. Enhver gruppe kan således betragtes som en gruppe af substitutioner. Det viser sig, at enhver transitiv repræsentation af en gruppe G kan få denne vej.


For at forstå følgende tekst, skal du kende algebra universitetets kursus

Det følgende eksempel på grupper stammer fra vektorrum. Lad V – vektorrum over feltet F (Jeg vil ikke give en definition af et vektorrum og et felt, et eksempel på et vektorrum er et plan, og et eksempel på et felt er et sæt rationelle tal med hensyn til addition og multiplikation). Sættet af ikke-degenererede lineære transformationer af et vektorrum V danner en gruppe og kaldes generel lineær gruppe (betegnet med GL (V)). Det er nemt at kontrollere, at vektorrum i samme dimension n over det samme felt er isomorphic til rummet af længde strenger n, og sætet af ikke-degenererede lineære transformationer falder sammen med sættet af ikke-degenererede matricer. I dette tilfælde skrives den generelle lineære gruppe som GLn(F).Faktisk er dette eksempel ikke strengt taget nyt, da GL (V) ≤ SymV. Men betydningen af ​​denne gruppe af grupper på grund af dens valg i et separat eksempel. homomorfi φ : G → GLn(F) kaldes lineær repræsentation grupper G over marken F grader nog rum V Det opfordrede G-modul. Ballens symmetrigruppe, som blev nævnt i indledningen, falder sammen med gruppen af ​​alle lineære transformationer af tredimensionelt rum, der bevarer længden af ​​vektorerne, kaldet fælles ortogonal gruppe.


Det tredje eksempel på grupper opstår som følger. Lad X = {x1, x2, …} er et alfabet (endelige eller uendelige). Lad os udfylde det med formelle symboler. X-1 = {x1-1, x2-1, …} og overvej sæt sæt i alfabetet X X-1. Vi introducerer transformationerne:

(1)
sletning af tegn xjegxjeg-1 eller xjeg-1xjeg;

(2)
Tilføj til ethvert sted ord underordnede xjegxjeg-1 eller xjeg-1xjeg.

To ord u, v vi kalder ækvivalent, hvis der er en kæde af transformationer af type (1) eller (2), som oversætter et ord til et andet. På sæt af ækvivalensklasser definerer vi multiplikationsoperationen ved at tildele et ord til enden af ​​en anden. Så får vi en gruppe kaldet fri gruppe og betegnet af F[X], og elementerne i denne gruppe kaldes i ord. Universaliteten af ​​denne konstruktion gør frie grupper uundværlige til at studere formelle sprog (for eksempel programmeringssprog) samt forskellige andre opgaver fra kodningsteori, anerkendelse mv. Udtrykket "fri" skyldes det faktum, at hvis vi har en vilkårlig gruppe G og der er sådan en delmængde af den Mat M = Gså kan vi overveje mange ord X med betingelsen |X| = |M| og så er der en homomorfisme φ : F[X] → G. Kernel af homomorfismen Ker (φ) genereret af et sæt sæt ord R og gruppeoptagelse G i form af G = < X|R > kaldet Gruppens opgave at definere og generere relationer. Måske er dette den mest abstrakte måde at tildele en gruppe og derfor den sværeste. Vi vil ikke give her eksempler på grupper defineret på denne måde.


Like this post? Please share to your friends:
Gruppeteori – The Science of Excellence ">
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: