"Hårde" fliser • Khaidar Nurligereev • Populære videnskabsopgaver på "Elements" • Matematik

“Hårde” fliser

opgave

Det er let at flise flyet med ens trekantede fliser (figur 1, venstre). En sådan ordning er egnet til enhver trekant. Vi kan sige, at denne flisebelægning er "ikke-stiv" i den forstand, at hvis vi en smule ændrer proportionerne af trekanterne (de skal stadig være lige), så får vi igen en flisebelægning af flyet ifølge denne ordning (figur 1, højre).

Fig. 1.

Men det sker på en anden måde. Se på billedet. 2: Også her er alle trekanter ens, men denne ordning fungerer kun for helt specifikke proportioner af trekanter. Vi kan sige, at en sådan vippe er "hård".

Fig. 2.

a) Forudsat at alle trekanterne i fig. 2 er ens finde deres vinkler og aspektforhold. Bevis detdet fra figuren er de utvetydigt bestemt.

b) Kom op med "hård" flisebelægning af lige konvekse firkanter.

c) Kom op med "hård" flisebelægning af lige pentagoner (ikke nødvendigvis konveks).


Tip 1

a) For at opnå den betingelse, at trekantenes vinkler skal tilfredsstille, er det tilstrækkeligt at bruge det faktum, at summen af ​​vinklerne ved siden af ​​hvert hjørne er 360 °. Og for at søge betingelser på siderne er det nyttigt at overveje segmenter dannet af flere sider af tilstødende trekanter.

Bemærk at vinklerne og siderne ikke kan ændre sig uafhængigt af hinanden, de er indbyrdes forbundne. Endvidere er forholdet mellem vinkler og aspektforhold en-til-en. Faktisk ved at kende aspektforholdet, kan du bestemme værdierne for vinklerne ved cosinus sætningen. Og ved at kende vinklerne kan du finde aspektforholdet ved sinusets sætning. For at løse problemet er det tilstrækkeligt at finde kun to ligninger på sider eller vinkler.


Tip 2

b), c) Grundidéen er som følger. For at flisebelægningen skal være "hård" skal kopier af samme flise, der er inkluderet i det, være i kontakt med hinanden på så mange måder som muligt. Så vil hver sådan metode give nogen ligning for vinklerne og siderne, og jo flere ligninger – jo mindre grader af frihed.

Der er flere måder at forsøge at konstruere en sådan flise på, hvoraf kopier kan anvendes på forskellige måder. En af dem er at pålægge nogle karakteristiske begrænsninger på flisen. For eksempel, søg efter det i klassen af ​​polygoner med parallelle sider. Eller blandt fliserne, hvilke sider er lige. Det kan også være en god idé at overveje vinkler, der deler 360 ° og er mange af dem.

En anden mulig måde er at forsøge at anvende allerede kendte tegninger, for eksempel som i fig. 3. Så skal du forsøge at lave en ny flise fra flere fliser eller fliser, der er inkluderet i den oprindelige belægning. Og kun så fra kopien af ​​den resulterende flise for at lægge den "hårde" belægning i konturer, som den oprindelige belægning vil blive gættet.

Fig. 3.


beslutning

a) Angiv siderne og hjørnerne af en trekantet flise som vist til venstre i fig. 4. Således overvejer segmentet dannet af siderne af fire trekanter (i midten i figur 4) os at opnå et forhold til siderne: en + c = 2b. Og når man ser på toppen, hvor tre trekanter er konvergerede (til højre i figur 4), forstår vi det 2γ = 180 °. Således er γ = 90 °, det vil sige trekanten er rektangulær. Derfor opfylder den den pythagoriske sætning: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Fig. 4.

Nu for at finde de ønskede relationer, ganske enkle beregninger:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Herfra får vi

\ [(a + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % %. \]

Derfor er trekantenes vinkler lige \ \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ}. \)

b) Overvej en rektangulær trapezoid sammensat af en firkant og en højre trekant, svarende til halvdelen af ​​denne firkant (figur 5, venstre). Kopier af denne trapezoid kan fastgøres til hinanden på mange forskellige måder.Da vi ønsker at den resulterende belægning skal være "hård", skal vi i starten lave sådanne konfigurationer fra de specificerede trapezformede fliser, der definerer sideledningerne og trapeziumvinklerne entydigt. Dette er let at opnå. For eksempel sammensætter tallene på fire fliser vist i fig. 5, vil vi opnå ligeværdien γ = δ = 90 °, og når vi har lavet et kryds fra otte fliser, opnår vi betingelsen α = 45 °. Hvis fra tre fliser at samle figuren vist i fig. 5 til højre og derefter ligestilling 2en = b.

Fig. 5.

Det er klart, at hvis en quadrilateral opfylder ovennævnte fire ligeværdier, så repræsenterer det helt sikkert vores rektangulære trapezium. Derfor vil enhver flisebelægning, hvori alle ovennævnte konfigurationer stødes, sikkert vise sig at være "hårde" i den forstand, at det ifølge den samme ordning ikke er muligt at folde fliserne fra en hvilken som helst fjerde firkant. Der er utallige lignende tegninger; for eksempel er sådan tegningen vist i fig. 6.

Fig. 6.

Vi bemærker, at selv om fliserne i fig. 6 ifølge vores definition af "hård", er det let udsat for deformation: du kan frit flytte fliserne,placeret i samme vandrette eller lodrette række langs den tilsvarende lige linje. Dette kan undgås ved at tilføje dem på en anden måde. For eksempel, som vist i fig. 7.

Fig. 7.

c) I hjertet af tegningerne vist i fig. 6 og fig. 7, kan du gætte standard parket kvadrater (figur 3, højre). Vi viser, hvordan man på samme måde kan få et "hårdt billede" af nonconvex-pentagoner ved at bruge fliser med regelmæssige trekanter som basis (figur 3, venstre). For at gøre dette skal du tage en flise bestående af to regelmæssige trekanter og to halvdele af sådanne trekanter (figur 8, venstre).

Fig. 8.

Som i det foregående afsnit specificerer vi først fire konfigurationer, der definerer flisen vi overvejer unikt. De er vist i fig. 8. Den første sætter vinklen ε = 90 °. Det andet giver dig mulighed for at skrive forholdet 3y + 2ε = 360 °, og da vinklen e allerede er fast, får vi γ = 60 °. Tilsvarende giver den tredje konfiguration ligeværdien a + y + 3ε = 360 °, hvorfra α = 30 °. Endelig tillader den sidstnævnte konfiguration os at forstå, at β + 2y = 360 °, dvs. β = 240 °. Med hensyn til vinklen δ bestemmes den ud fra, at summen af ​​vinklerne på pentagonen er 540 ° og δ = 120 °.

Fig. 9.

Det viser sig, at kun konfigurationen vist i midten i fig. 8, nok til ligestilling b = e = en = d. Derfor definerer de ovennævnte fire konfigurationer virkelig den femkantede flise unikt. Således er det fortsat at give et eksempel på en flisebelægning, der omfatter dem alle. Ved konstruktionen hjælper ideen om konstruktion af strimler: For det første skaber vi en uendelig strimmel, der kan anvendes til sig selv (fig. 9) med kopier af vores fliser. Og så dækker vi hele flyet med sådanne striber (figur 10). Vi bemærker den brede anvendelighed af ideen om at designe strimler: En lignende "stribet" struktur har begge fliser, som vi byggede, da vi løste det punkt b)og i almindelighed består enhver periodisk belægning faktisk af bånd. Sagen er dog ikke begrænset til periodiske tegninger (som det f.eks. Kan ses i Polamimina Parqueta-problemet).

Fig. 10.

I vores eksempel er flisen ikke konveks, men det er absolut ikke en forudsætning for at generere en "hård belægning". Overvej den femkantede flise, der er vist i fig. 11 – den består af en firkant og to højre trekanter med en mindre vinkel på 22,5 °.Det viser sig, at kopier af en sådan flise også kan fliser på et "hårdt vej" -plan, som vist til højre i fig. 11. Det er sandt, at det er noget vanskeligere at bevise end "stivheden" af de tilings, vi tidligere oplevede. Lad os dog skitsere de vigtigste punkter i dette bevis.

Fig. 11.

Først og fremmest fra skemaet ifølge hvilket fliserne er stablet, er det klart, at siderne tilfredsstiller relationerne en = e = b og c = b + d. Som for vinkel, så de kan danne fire ligninger, som viser, at α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° og β + 180 ° = 2γ. Derfor kan vi ved at angive vinklen φ = δ / 2 udtrykke de andre vinkler gennem den:

\ [\ Alpha = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ y = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varpsilon = 2 \ varphi. \]

Nu er hovedideen som følger. For fliserne er "hårde", er det nødvendigt, at han mangler grader af frihed. I øjeblikket har vores flise to parametre, som vi kan variere: vinkel φ og aspektforhold en og d. Disse ændringer kan dog ikke være vilkårlig, fordi parametrene er indbyrdes forbundne. Hvis der efter en analyse af karakteren af ​​dette forhold, vil vi vise, at denne ordning gennemføres kun et endeligt antal mulige vinkler og forholdet mellem parterne, så vil det umiddelbart efter, at den ønskede fliser er "hårde".

Vi introducerer notationen som vist nederst til venstre i fig. 11. Fordi CDEF – ligesidet trapezium, derefter base

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Derfor kan vi finde forholdet mellem segmenter en og dudtrykker et segment BF af cosinus sætningen i trekanter ABF og CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Transformere, får vi

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2 = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

På den anden side kan vi finde forholdet mellem segmenterne en og dudtrykker et segment AC af cosinus sætningen i trekanter ABC og AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Hvis \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), det vil sige, hvis femkantet er forskelligt fra vores, kommer vi til følgende ligning:

\ {\ cos \ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

Det kan især ses herfra, at dette kun er muligt med \ (\ cos2 \ varphi <0 \) og

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2 {{2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Den sidste ligning kan kun have et begrænset antal løsninger. Således er belægningen i spørgsmålet "hård".


efterskrift

Alle de ovennævnte fliser som en del af denne opgave anvendte i grunden en enkelt polygon flise. Vi kopierede denne flise og dækkede så hele flyet med kopier uden huller og overlejringer. Sådanne fliser kaldes monoedralnymiog den underliggende polygon er protoplitkoy. Som vi har set, selv på trods af forbuddet mod at bruge fliser af forskellige typer, var de resulterende billeder meget forskellige. I mange tilfælde viser tegningerne med denne protoplite at være uendeligt mange, desuden – deres utallige antal. På samme tid, for andre protoplices (som for en almindelig sekskant) er flisebelægningen unik, og nogle protoplits tillader slet ikke fliser.

Det ville være naturligt at spørge, hvordan man ved form af en given polygon forstår, om det er muligt at flise et fly med sine kopier. Imidlertid er algoritmen, der vil tillade at besvare dette spørgsmål, at have modtaget en flise ved indgangen og ved udgangen, der har givet resultatet "ja" eller "nej", ikke kendt for menneskeheden. Derudover er der alvorlige grunde til at tvivle på, at det principielt eksisterer. Vi vil kort diskutere, hvad der kan forstyrre dette. Til dette vil det være nyttigt at i det mindste overfladisk kende bekendtskab med gruppen af ​​tegninger af symmetrier.

symmetri Denne flise kaldes en sådan bevægelse af flyet, som oversætter denne flis til sig selv. Groft sagt, hvis du kigget på vippet i lang tid, så vendte du væk,men nogen bag din ryg bevæger alle fliserne, så for det første bevares afstanden mellem fliserne, og for det andet vender du om og du kan ikke finde forskellen – det er symmetri. Hvis der er to un-directed parallelle oversættelser mellem sæt af alle symmetrier af en flisebelægning, så kaldes denne flisebelægning periodisk. For eksempel kan tegningerne i fig. 6, 7, 10 og 11, og faktisk alle de fliser, som vi har diskuteret hidtil. Men i alle disse eksempler er det nemt at omarrangere fliserne, så denne ejendom ikke længere er gyldig.

Periodiske tegninger er kendetegnet ved tilstedeværelsen af ​​den såkaldte grundlæggende område – En sådan delmængde af fliser, at alt belægning kan opnås ved parallelle overførsler af denne delmængde (det er bare vores "bånd", der blev nævnt i beslutningen). Derfor forsøger man at besvare spørgsmålet om, hvorvidt det er muligt at bane hele planet med kopier af denne protoplica, er det ret naturligt at handle som følger. Det er nødvendigt at gå igennem alle mulige muligheder, tilslutte fliserne med hinanden, og hvis der på et tidspunkt opstod et grundlæggende område, så er der en flisebelægning.Og hvis vi lister alle mulighederne, men vi finder ikke et grundlæggende område, tillader denne proto-flise ikke fliser.

Denne søgemetode har imidlertid en betydelig ulempe. Pludselig viste vores protoplica sig aperiodisk, det vil sige, det er muligt at bane hele planet med sine kopier, men alle disse tegninger er ikke-periodiske? Så vil vi aldrig gå igennem, fordi de kan dække et stykke vilkårligt stor størrelse. Men vi kan heller ikke finde et grundlæggende område, fordi der ikke er nogen periodisk vippe. Så vi vil gå gennem mulighederne til uendelig og aldrig stoppe.

Hvorvidt der er aperiodiske protoplits, er det for tiden ikke kendt for visse – postulere denne kendsgerning conway hypotese endnu ikke bevist. Så der er stadig sandsynlighed for, at ovenstående algoritme giver os mulighed for at besvare spørgsmålet om, hvorvidt det er muligt at konstruere en belægning baseret på denne protoplite eller ej. Men i et tredimensionalt rum blev en lignende hypotese løst positivt og også på Lobachevsky-planet. Derudover koster det os at øge antallet af brugte protoplices til to, da vi straks opdager et eksempel på et aperiodisk sæt – den berømte Penrose mosaik (figur 12).

Fig. 12. Penrose mosaik.Billede fra ru.wikipedia.org

Hvis det ikke er sikkert, om det altid er muligt at forstå fra en given flise, hvad enten det indrømmer planlægning af flyet eller ej, bør du forsøge at overveje en mindre generel sag og pålægge protoplica restriktioner. Først og fremmest antager vi, at alle polygoner der udgør fliserne er konvekse. Denne tilstand viser sig at være ret stærk: Det viser sig, at antallet af sider af en konveks proto-flise, der indrømmer belægning, ikke overstiger 6. Men her er der også alvorlige vanskeligheder.

Fig. 13.

Det er nemt at sikre, at hele flyet kan dækkes med kopier af enhver trekant, samt med kopier af et hvilket som helst quadrangle – her er endda ikke konveksitetstilstanden nødvendig (figur 13). Men med pentagoner er alt ikke så simpelt. Undersøgelsen af ​​monohedrale tegninger af pentagoner har en rig historie, og selv nu er der ingen fuldstændig sikkerhed for, at denne opgave har fundet sin logiske konklusion. Tilsyneladende var Carl Reinhard den første til at klassificere i 1918 og fremhævede fem typer konvekse femkantede fliser (figur 14). Hver type var præget af et bestemt sæt forhold på sider og hjørner, hvilket dog efterlod en vis frihed – alle disse fliser var "ikke-stive".Et halvt århundrede senere, i 1968, informerede Richard Kirchner verden om opdagelsen af ​​tre flere typer tegninger og hævdede, at med disse otte typer er alt udmattet. Imidlertid var han forkert: i 1975 fandt Richard James, efter at have læst en artikel af den berømte videnskabsmedarbejder Martin Gardner, en anden type. Men et ægte gennembrud i de næste to år blev lavet af husmoren Marjorie Rice, der læste den samme artikel – hun formåede at finde så mange som fire nye typer monohedrale fliser med konvekse femkant.

Fig. 14. 15 monohedrale fliser af flyet med pentagoner. Billede fra forbes.com

Historien sluttede dog ikke der: Det fjortende fortov blev fundet af Rolf Stein i 1985 – i modsætning til alle tidligere, var det "hårdt". Og tredive år senere opdagede en gruppe forskere, der bestod af Casey Mann, Jeniffer MacLeod og David von Durey, ved hjælp af computerberegninger, det femtende fortov, som også ikke havde nogen grad af frihed. Endelig fremlagde Michael Rao i 2017 bevis for, at der ikke er andre femkantede fliser. For at bevise det anvendte Rao imidlertid et specielt skrevet computerprogram, hvilket skaber en vis skepsis i en del af det videnskabelige samfund, selv om det blev uafhængigt gengivet og verificeret.

En anden tilgang til klassificeringen af ​​monohedrale fliser er baseret på det faktum, at vi fokuserer på flisernes egenskaber i forhold til symmetrigruppen. Hvis der for en hvilken som helst to fliser i en fortov er der en symmetri, der tager den første flise til den anden, så kaldes sådan en banning isohedral. Mere generelt siger vi det hovede k-isohedralhvis sæt af sine fliser er brudt ind k klasser under handlingen af ​​en symmetri gruppe. For eksempel kan tegningerne i fig. 13 er isohedrale, fordi hver flise kan omdannes til enhver anden enten ved parallel overførsel (sådanne fliser er malet i en farve) eller ved rotation (sådanne fliser er malet i forskellige farver). Og baner på ris. 11 er allerede 2-isohedral: de fliser malede gule kan omdannes til hinanden, så fliserne er selvkombinerende, ligesom de blå fliser kan oversættes til hinanden, men den blå flise kan ikke oversættes til gul. Andre fliser vi så i løsningen er også k-isohedral til forskellige k. For at se dette, redraverer vi dem, så fliserne kan oversættes til hinanden ved flisesymmetrien så og kun hvisnår de er malet i en farve (som det var med belægningen af ​​tilstanden, som som vi forstår nu er 3-isohedral). Efter at have gjort dette ser vi det for en af ​​dem k = 8 (fig. 15, venstre), for den anden k = 16 (fig. 15, højre), og for den tredje k = 10 (fig. 15 nedenfor).

Fig. 15.

Isohedral tegninger med konvekse polygoner kan klassificeres. Så alt er tilgængeligt:

  • 14 isohedrale belægning trekantede fliser,
  • 56 isohedral fliser med konvekse firsidede fliser,
  • 24 isohedral fliser ved konvekse femkantede fliser,
  • 13 isohedral fliser med konvekse sekskantede fliser.

Dybest set er de "ikke-stive" (som vist i figur 13, fliser). Men nogle af dem under deformation ophører med at være isohedral. Sådan er fx fliserne på fig. 16: vi kan skifte de vandrette striber i forhold til hinanden, men efter dette kan trekanten med den vandrette base ikke omdannes til en trekant med basen hældende ved symmetri.

Fig. 16.

At klassificere k– isohedral fliser med k > 1 er også muligt. Men såvel som til fliser med ikke-konvekse fliser er dette meget mere kompliceret, og det er allerede vanskeligt at se, at der er 2-isohedriske fliser på grund af det store antal forgreningsmuligheder. Og om de store værdier k vi vil ikke engang tale.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: