Juletræer og lanterne • Konstantin Knop, Evgeny Epifanov • Populære videnskabsopgaver på "Elements" • Matematik

Juletræer og lanterne

opgave

På en stor, meget stor plads på nytårsaften blev mange, mange juletræer og mange mange lanterne installeret, og der var flere træer end lanterne. Kan det det viser sig at i en afstand af 1 meter fra hvert træ er nøjagtigt 8 lys? (Juletræer og lanterne betragtes som prikker, og området er fladt.)


Tip 1

Ja, det kan være.


Tip 2

Prøv først at finde frem til en løsning for et enklere tilfælde: Når der er en afstand på 1 m fra hvert træ, er der 2 lanterne og et træ mere end lanterne.


beslutning

Vi diskuterer først det enklere tilfælde fra tip 2. Placer lysene i en firkantet gitter med en side på 2 m, og juletræer i midten af ​​alle segmenterne mellem to tilstødende lys. Hvis den ene side er N lanterne så vil de samlede lanterne være N2. Yolok med 2N(N – 1), fordi halvdelen af ​​dem er på de vertikale segmenter og halvt på vandret. Allerede hos N = 3 træer vil være mere end lanterne. Figur 1 viser situationen, når N = 5: på området 25 lanterner og 40 juletræer.

Fig. 1.

Ved løsningen af ​​hovedopgaven holder vi lampernes placering, og næsten alle juletræer (dem, der ikke opfylder betingelsen, skal du blot fjerne dem fra pladsen). Og hvad kan der ændres? Paradoksalt er det bedst at ændre måleenheden, det vil sige måleren. Det vil snart være klart, hvorfor.

Antag, at der er et stort område, hvor træer og lanterne står på samme måde som i eksemplet demonteret ovenfor. Lad os først svare på dette spørgsmål: Er der en cirkel med midten i et givet juletræ, hvor der er nøjagtigt 8 lanterne? Vi kan antage, at dette træ er på grund af koordinater, og koordinatakserne løber parallelt med segmenterne, der forbinder de nærmeste lanterne (lad abscisseaksen gå langs det segment, som vores træ står på). Så lysene vil have koordinater for formularen (2k + 1, 2l) hvor k og l – heltal (måleenhed – meter, som vi ikke er ændret endnu). Ifølge Pythagoras sætning er kvadratet af afstanden fra lampen med koordinater (2k + 1, 2l) til træet er (2k + 1)2 + (2l)2. Sådanne beløb kan være lig med hinanden for forskellige par af heltal (k, l). For eksempel 12 + 82 = 72 + 42 = 65. Dette betyder, at lysene på punkterne (7, 4) og (1, 8) er lige store afstande fra træet. Men i samme afstand fra det er der også lys, der er placeret på punkterne (-7, 4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, 8) , (-1, -8), og alle sådanne lamper vil være nøjagtigt 8 (i figur 2 vises de i blåt, for tydelighed er en cirkel trukket gennem dem). Generelt har vi ikke bevist, at der ikke vil være mere end otte af dem, men denne enkle øvelse vil blive overladt til læseren for en uafhængig beslutning.

Fig. 2.

Nu er vi klar til den lovede "ændring af meter". Lad nu ny meter vil være radius af denne meget cirkel, hvor vi fandt 8 lys. Så for alle juletræer, der er tilstrækkeligt "dybt inde i torget", vil tilstanden omkring 8 lys blive opfyldt. Det er fortsat at beregne, hvad der er "dybt inde". Træet skal være sådan, at til højre og venstre er der 7 "gamle meter" og over-under på 8 "gamle meter" lanterne. Hvor mange sådanne træer er på vandrette segmenter, hvis antallet af lamper langs siden af ​​pladsen er N? Vi skal fjerne træerne i de øverste og nederste fire rækker og træerne i de tre venstre og tre højre midtersegmenter. Det er i hver vandret række nu N – 7 juletræer (og ikke N – 1, som det var før), og nu er der rækker af sådan N – 8, ikke N. Det samme kan siges om træerne på de lodrette rækker, så det samlede antal træer er 2 (N − 7)(N – 8). Ulighed 2 (N − 7)(N − 8)>N2 udført på N ≥ 26 (figur 3). Med sådan N Opgavens tilstand vil blive opfyldt.

Fig. 3.


efterskrift

Bemærk, at vi i vores løsning anvendte ideer tæt på, som blev overvejet i opgaverne Circles på rutet papir. Det beskriver i detaljer hvordan man søger på det rutede plan af en cirkel, der passerer gennem et givet antal netnøgler.Vi bemærker også, at vores opgave kan løses på en anden måde: se løsningen af ​​problemet M1129 i "Questbook" i "Quest".

Generelt er problemerne med konfigurationer af et begrænset antal punkter på flyet, der ville tilfredsstille visse egenskaber, meget mange. Det lader til, at alt dette bør være "barnlige" spørgsmål som vores, men mange sådanne problemer viser sig at være meget komplekse og professionelle matematikere er involveret i dem. Matematikafdelingen afsat til lignende problemer – kombinatorisk geometri – udviklet sig gennem hele XX århundrede, og Paul Erdos yder et stort bidrag til denne proces.

Mange problemer med combinatorial geometri fængsles med deres formulaters enkelhed. For eksempel: at bevise, at hvis ikke alle punkter i sættet ligger på en linje, så er der en linje, der går gennem nøjagtigt to af disse punkter. Dette er Sylvester-Gallai teorem sætningen, der er løst i nogen tid. Men som et godt problem følger andre spørgsmål fra det: da denne sætning siger, at der skal være mindst en lige linje, der går gennem præcis to punkter, hvor mange sådanne lige linjer kan der være? For et par år siden blev en artikel om dette problem udgivet af Terence Tao, som endnu engang viser, at fra enkle spørgsmål til videnskabens forkant er der ofte en ret kort vej.

Problemer forfatter og løsninger: Konstantin Knop
Postordforfatter: Evgeny Epifanov


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: