Karrusel kvadreret • Nikolay Avilov • Populære videnskabsopgaver på "Elements" • Matematik

Karrusellen kvadreret

opgave

Fig. 1.

En 3 × 3 kvadrat består af firkantede 1 x 1 chips nummereret fra 1 til 9. Chipsne ligger oprindeligt som vist i fig. 1 tilbage. Eventuelle fire stykker, der udgør en 2 × 2 firkant, kan drejes rundt om centrum i en cirkel. Er det muligt med et par sådanne sving at få den placering, hvor chipsene:
a) nummereret "slange" (figur 1, højre);
b) danne et 3 × 3 magisk firkant?


hjælpe

I begge afsnit er svaret "kan". Tænk på en sekvens af sving, som for eksempel bytter chips med nummer 2 og 6, så de resterende chips slutter på deres steder. Er det muligt at bytte alle to chips på samme måde?


beslutning

Fig. 2.

I fig. 2 bogstaver A, B, C og D angiver centrene for mulige sving. Fours of chips kan roteres omkring disse punkter (for eksempel kan du rotere chips af den 2 × 2 firkant, hvis center er dette punkt) omkring punkt A. Drejninger er bekvemt betegnet med grader: En, En2 og En3 – den drejes med uret om punkt A i vinkler på henholdsvis 90 °, 180 ° og 270 ° (retningen af ​​drejninger med uret – vælges for entydighed).

Du kan bygge en firkant, hvis chips er nummereret "slange" ved at følge denne rækkefølge på syv omgange: ABCB2C3AB2. I fig.3 trin for trin viser hvad der sker med chips.

Fig. 3.

Du kan bygge et magisk firkant på seks omgange. En3D3C2En2BA3 (Figur 4).

Fig. 4.


efterskrift

Problemet er løst, men der kan være en følelse af let utilfredshed, fordi det ikke er klart, hvordan man finder en løsning, og hvorfor præcis sådanne drejninger fører til det rette arrangement af chips. Disse løsninger er forresten de korteste, og de blev fundet ved hjælp af en computersøgning. På anmodning fra forfatteren blev programmet skrevet af KT Shamsutdinov, Rusland's mester i 2018 for at løse gåder.

Hvordan finder man løsninger på disse problemer ved kun at bruge "blyant og papir"? Lad os se!

Vi vil kalde 2 × 2 firkanter af små chips. Der er fire af dem i en 3 × 3 firkant – i hjørnerne af denne plads. To små firkanter kan krydse enten en chip eller to. Begge disse situationer er vist i fig. 5.

Fig. 5.

Er det muligt i hver af disse tilfælde at rotere små firkanter rundt om deres centre, at bytte kun to chips og efterlade resten på deres steder? Det viser sig, at begge disse tilfælde er godt undersøgt.

I bladet "Skole Math" (# 10 for 2009) var den næste opgave (i lidt anderledes ordlyd). Puslespillet "6" er et 3 × 2 rektangel foldet fra 1 × 1 kvadrat chips. Chips er nummereret i hver række fra venstre til højre med tal fra 1 til 6. Chips på hver 2 × 2 kvadrat kan drejes rundt om midten med et flertal på 90 °. Er det muligt med et par sådanne sving at få et arrangement, hvor kun chips 2 og 5 vil bytte steder (figur 6)? Det er nemt at se, at dette er nøjagtigt den venstre konfiguration fra fig. 5.

Fig. 6.

Forfatterne af denne opgave (I. Akulich, K. Kaibkhanov, S. Tokarev) viste, at dette er umuligt at gøre. En særskilt artikel blev afsat til sin løsning i et af følgende tidsskrifter (selvom løsningerne af de foreslåede problemer normalt er ret kompakte). Artiklen er ikke let læses, alt er seriøst: fem sider, seks lemmas, men resultatet er interessant.

Fig. 7.

Det viser sig, at denne opgave er et specielt tilfælde af følgende generelle problem. Tallene 1, 2, 3, …, mn er skrevet i celler af m × n rektanglet, hvor 2 ≤ m ≤ n. Indenfor rektanglet er det tilladt at vælge en hvilken som helst 2 × 2 firkant og omarrangere tallene i en cirkel (figur 7). For hvilke værdier af m og n kan tallene i tabellen bestilles?

Et udtømmende svar på dette spørgsmål blev givet af I. Akulich. Problemet er løseligt, hvis og kun hvis m + n ≥ 6.Til sådanne rektangler fandt han multi-path-algoritmer, der tillader bestilling af tabelnumre. For et 2 × 3 rektangel viste sig problemet at være uopløseligt. I undersøgelsen af ​​denne sag blev der brugt en computer. Det viste sig, at de eksisterende 6! = 720 permutationer af seks tal kan opdeles i seks grupper med 120 permutationer i hver. Desuden inden i hver gruppe overføres permutationer til hinanden ved at dreje små firkanter, og permutationer fra forskellige grupper til hinanden oversættes ikke. Permutationer (123456) og (153426) tilhører forskellige grupper, så svaret på spørgsmålet om problemet er negativt. Dette viste K. Kaibkhanov i sin artikel ved hjælp af en lineær kombination af to invariants.

En anden uventet version af denne opgave. Det viser sig, at det er implementeret på Rubik's terning, hvis du tillader at rotere kun to lag af terningen: frontal og højre. I fig. 8 bevægelige terninger er hvide. Forbindere af Rubik's Cube, ved at han har umulige stater: for eksempel er det umuligt at bytte kun to hjørne terninger (så resten vil ende i deres steder). Og det er netop opgaven med de seks firkanter.

Fig. 8.

Nu vender vi til højre side af fig. 5.Journalen Kvant (nr. 6 for 2009) foreslog en sådan opgave. Af de nummererede firkantede chips 1 × 1 er der en foldet figur indeholdende to 2 × 2 firkanter, og chip nummer 4 er en almindelig (fig. 9, til venstre). Chips på hver 2 × 2 kvadrat kan drejes rundt om centrum ved en vinkel på 90 °. Er det muligt med sådanne drejninger at få placeringen vist i fig. 9 rigtigt?

Fig. 9.

I modsætning til det første tilfælde kan chips 1 og 2 byttes. Vi viser hvordan man gør det. Bemærk, at hvis du ikke er opmærksom på at flytte de resterende chips, kan chips 1 og 2 nemt bytes. For at gøre dette skal du udføre i alt 4 2 × 2 firkantede drejninger i følgende rækkefølge: venstre med uret 90 °, højre mod uret 90 °, venstre mod 90 ° og højre 180 °. I fig. 10 viser bevægelsen af ​​chipsene under disse rotationer.

Fig. 10.

Sammenligning af chipsets første og endelige arrangement, lad os se, hvilken bevægelse hver chip lavede.

Fig. 11.

Hvis pilene angiver forskydningen af ​​hver chip og markerer punkterne med de prikker, der igen dukkede op i deres steder, så får vi ordningen med fig. 11. Chips 1 og 2 byttes, chips 3 og 6 forblev på plads, chips 4, 5 og 7 bevægede sig rundt om cyklen.Dette betyder, at hvis du gentager serien af ​​fire spins tre gange, vil chips 4, 5 og 7 igen falde på plads, og chips 1 og 2 vil skifte steder.

Lad os vende tilbage til vores opgave. I fig. 12 en blå farve fremhæver et fragment af et 3 × 3 kvadrat, hvilket svarer til den højre konfiguration af fig. 5. Ved at dreje rundt om punkterne A og D skriver vi sekvensen af ​​svingninger fundet ovenfor g = (AD3En3D2)3 for dette fragment. Som et resultat af sekvensen g i 12 omgange vil kun chips 2 og 6 skifte steder.

Fig. 12.

At bygge en firkant, hvor chipsene er nummereret "slange", er det nok at bytte chips 4 og 6. Først skal du lave en forberedende tur En2tage chip 4 i stedet for chip 2, og anvend derefter en række drejninger gsom bytter chips 4 og 6, derefter ved at dreje En2 returner de resterende chips (undtagen 6) til deres steder (figur 13).

Fig. 13.

For at opbygge et magisk firkant, først, med tre omgange, oversæt 4 i øverste højre hjørne og oversæt 6 i nederste venstre hjørne, for eksempel: En2BC2. Gør en anden tur En2tager chip 5 til midten af ​​pladsen.

Fig. 14.

Hvad der skete er vist i fig.14 til højre: hvide chips er allerede på deres pladser, og i den del der er markeret med blå, skal vi også genoprette ordren. Men det viser sig at bruge en sekvens af sving g og hjælpevendinger, i denne del kan du bytte to chips. Vi viser for eksempel hvordan man bytter chips en og b (Figur 15). For at gøre dette skal du først oversætte chippen en midt på toppen af ​​pladsen, chippen b – midt på højre side af pladsen. Fik et arrangement, som du kan anvende en sekvens af sving g og bytte chips en og b, efter omvendt spinding C3 og a3 (i den rækkefølge) returnerer de resterende chips til deres oprindelige tilstand.

Fig. 15.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: