Kaustik på flyet og i rummet

Kaustik på flyet og i rummet

Andrey Nikolaevich Andreev,
Alexey Andreevich Panov
"Kvant" № 3, 2010

Ætsninger er allestedsnærværende optiske overflader og kurver, der stammer fra refleksion og refraktion af lys. Ætsninger kan beskrives som linjer eller overflader langs hvilke lysstråler er koncentreret.

Kaustik på flyet (2D kaustik)

Fig. 1. Ætsninger, når de afspejles fra en cirkel. Billede: "Quant" "border = 0>Fig. 1. Ætsninger, når de afspejles fra en cirkel. Billede: "Quant"

Lad os først se, hvad der sker, når alle lysstråler og kurven, hvorfra de afspejles, ligger i samme plan. Det vigtigste eksempel er afspejling af parallelle stråler fra en cirkel. Kaustikken der opstår her er en lys linje med et spids placeret mellem toppen og midten af ​​spejlet (figur 1).

Fig. 2. Til venstre 14 stråler kører på spejlet, til højre – 102 bjælker, og deres punkter i parvis kryds er markeret. Billede: "Quant"

Hvis vi beskæftiger os med en parabola, så samles alle strålerne parallelt med sin akse efter refleksion på et tidspunkt – parabolens fokus. For en cirkel og for andre spejle er det ikke tilfældet, de reflekterede stråler konvergerer ikke på et tidspunkt. Men når en smal stråle af parallelle stråler falder på et spejl, bliver det efter konvertering konvergerende.Med andre ord, den reflekterede stråle ikke konvergerer helt på et tidspunkt, men smalle bjælker bestående af tætte stråler vil konvergere. De punkter, hvor de konvergerer, er koncentrationspunkterne for energi, og kaustisk består af dem. Disse overvejelser vil give os mulighed for at tegne en kaustik.

Lad os starte et stort antal parallelle stråler på et rundt spejl. Opdel dem i par og mærker skæringspunkterne for strålerne i hvert par efter refleksion (figur 2). Hvis antallet af stråler er øget, vil afstanden mellem de parvise skæringspunkter falde. Punkterne vil være placeret tættere på hinanden og i grænsen vil fylde den kaustiske kurve.

Fig. 3. Hvert af de reflekterede stråler berører ætserne. Billede: "Quant"

Dette er en måde at forstå, hvordan kaustikken er lavet. En anden måde at se caustics på er at tegne mange stråler. I det således opnåede kaustiske mønster skiller det sig ud som en kurve, som alle reflekterede stråler berører (figur 3). Det er blot en anden manifestation af den samme koncentration af lysenergi – hver lysstråle berører kaustikken, hvilket betyder at den bevæger sig langs en væsentlig del af sin vej og "giver" det mest af sin energi.Linjen, der berører hver linje i en bestemt familie af linjer, er konvolutten til denne familie. Så kaustisk er en konvolut af lysstråler. Det kan siges, at kaustik er en kerne, hvorpå alle lysstråler er spændt.

Hvordan kan du selv tegne tidligere billeder?

Afslut spejlet til hele cirklen (figur 4). Så fra det faktum, at "indfaldsvinklen svarer til refleksionsvinklen" følger det med, at akkorderne AB og BA ' , skåret ud af hændelsen og reflekterede stråler er lig med hinanden. Så, ved hjælp af et kompas, tegne en cirkel med et center ved punkt B og en radius AB og markere skæringspunktet med spejlpunktet A 'og så på linjalen for at holde den reflekterede stråle BA '. Hvis en computer bruges til tegning, skal du vide, at den vandrette (parallelle med x-aksen) lysstråle reflekteret ved enhedens cirkelpunkt (cos φ, sin φ) med vinkelkoordinaten φ er rettet langs vektoren (-cos 2φ, -in 2φ ). Dette giver dig mulighed for at tegne alle de reflekterede stråler. Og hvis vi stadig vil komme fra cirklen til kaustikken, er afstanden til at gå langs denne vektor (cos φ) / 2. Således vil punkterne på kaustikken have koordinater

Dette er en velkendt kurve (den beskrives ved et fast punkt af en cirkel, der ruller udenfor langs en dobbelt cirkel), den har sit eget navn – nephroid.

Fig. 4. akkord AB og BA ' lige så er den reflekterede stråle rettet langs vektoren (-cos φ, sin 2φ). Billede: "Quant"

Caustics i rummet (3D kaustik)

Alt er meget mere kompliceret og meget mere interessant i tredimensionelt rum. Der på hver reflekteret stråle er der to punkter i koncentration af energi. I den forstand kan man sige, at den kaustiske overflade i rummet består af to ark.

F.eks. Tag den reflekterende overflade af formularen

z = x2 + 2y2

og lys det ovenfra med en stråle, der løber parallelt med z-akse. Hvis vi begrænser os til flyet y = 0, så har vi afspejling fra parabolen z = x2 og i flyet x = 0 refleksion kommer fra en parabola z = 2y2 . Disse er forskellige paraboler, og strålerne fra dem vil fokusere i forskellige højder, på forskellige punkter af aksen z. Et af punkterne ligger på et ark af den kaustiske overflade, den anden på den anden.

Fig. 5. Refleksion fra plastikvinduer. Billede: "Quant"Fig. 6. På grund af trykfaldet bøjer glasset indad. Billede: "Quant"

I de seneste år har fotografier af lyse tetragonale stjerner vist sig på internettet på internettet (figur 5).Dette er resultatet af sollysets refleksion fra plastikvinduer, der ligger overfor husene. I plastvinduer er afstanden mellem ruderne forseglet, og luften pumpes delvist ud derfra. På grund af trykfaldet deformeres brillerne inde i glasenheden og tager formularen vist i figur 6 (billedet er stærkt strakt langs den vertikale akse). En sådan overflade kan godt tilnærmes af en funktionsgraf.

optagelse af passende konstanter k og m.

Fig. 7. Billedet på skærmen – husets mur – med en lille afstand (og) og med større afstand (b). Billede: "Quant"

Hvis et begrænset stykke af en sådan overflade – "vinduet" – lyser af en stråle, der falder parallelt med strålerne, og en skærm er anbragt på ruten for reflekterede stråler, så vil vi på kort afstand fra vinduet se et billede på skærmen, hvis hovedfragment er en ottekantet stjerneog). Med en større afstand af skærmen ser vi på den en firsidet stjerne mod baggrunden af ​​en mindre lys oval (figur 7,b), hvilket svarer til rigtige billeder. Fire fraværende i forhold til det venstre strålemønster blev afskåret fra stjernen på grund af det faktumat vi kun overvejer refleksion fra et begrænset overflade – fra et firkantet vindue.

Fig. 8. To typer af kaustisk overflade. Billede: "Quant"

Nu vil vi tegne selve kaustisk overflade, der svarer til dette optiske billede. Det består faktisk af to ark. I figur 8 fjerner farven de kaustiske punkter fra den reflekterende overflade: de blå punkter er tættere på den, de røde er længere væk fra den. Tværsnittet af et af arkene af kaustik er en ottekantet stjerne, tværsnittet af den anden er grænsen til den oval, der omgiver stjernen.

Fig. 9. Ætsninger som følge af lysets brekning, det lyseste element – en kvadratisk stjerne. Billede: "Quant"Fig. 10. Bloddannelse på vandets overflade, simulering af en boble eller menisk. Billede: "Quant"

Kaustik kan dannes ikke kun ved refleksion, men også ved lysets brydning, siger på overfladen af ​​vand. På fotografierne gengivet i figur 9 brydes solens stråler enten på luftboblen eller på menisken som følge af overfladespænding på nålen nedsænket i vand. Og her og der i bunden ser vi en lille firsidet stjerne.

Lad os model dette fænomen ved at angive en refraktionsoverflade (fig.10) ved ligningen

Fig. 11. Billedet på skærmen ligger nederst på fartøjet. Billede: "Quant"

Fix en konstant k og indfaldsvinklen af ​​solens stråler a og husker det for vand brydningsindekset n = 1,33. Brug af brydningsloven sin a = nsynd β det er muligt at beregne retningen af ​​de refrakterede stråler – vinklen β – og derfor konstruere et billede, som strålerne danner på en skærm, der er placeret under vandets overflade – i bunden af ​​beholderen. Den samme asymmetriske tetragonale stjerne (figur 11) er tydeligt synlig som i billedet (se figur 9).

Fig. 12. Caustisk overflade dannet ved refraktion i en luftboble. Billede: "Quant"

Og her er den tilsvarende kaustiske overflade til refrakterede stråler (figur 12). De blå punkter er placeret tættere på vandets overflade, de røde er mere fjernt fra det. Tværsnittet af den indre overflade er en firkantet stjerne, og den ydre sektion er grænsen til den ovale indeholdende denne stjerne.

Afslutningsvis, vores anbefalinger til videre læsning.

1. De optiske egenskaber af en parabol og andre kurver findes i bogen af ​​A. G. Dorfman "Optik af koniske sektioner" (Populære forelæsninger om matematik, nummer 31. – M.: Fizmatlit, 1950).

2. Hvordan man skriver konvolutens ligning, findes i bogen B.G. Boltyansky "Envelope" (Populære forelæsninger om matematik, udgave 36. – M.: Fizmatlit, 1961).

3. Endelig kan du læse om funktionerne i enhedens kaustiske kurver og kaustiske overflader i bogen V. I. Arnold "Katastrofe teori" (M.: Science, 1990).


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: