En trekant af mursten • Konstantin Knoop • Populære videnskabsopgaver på "Elements" • Matematik

Mursten trekant

opgave

På byggepladsen lå en bunke med rød, gul og grå. Byggeholdets foreman bestilte sine arbejdere til at lægge en trekantet væg ud af dem i henhold til følgende regel: Tag 10 vilkårlig mursten fra bunken til den nederste række og læg derefter den samme farve mursten på de næste mursten af ​​samme farve og mursten af ​​samme farve på de flerfarvede mursten (et eksempel på en sådan pyramide er vist i figuren ).

Som følge heraf vises kun en mursten i øverste række. En brigadier-matematiker, der ser på mursten i den nederste række, gætter altid hurtigt og præcist på hvilken farve den øverste mursten bliver. hvordan gør han det?


Tip 1

Kendskab til den nederste række kan du tegne et billede af alle rækker af denne murværk (og gøre det hurtigere end bygherrerne har tid til at sætte det). Lad os markere denne metode som ukarakteristisk for matematik (og ikke hurtig nok).


Tip 2

Det er klart, at bestemte farver ikke er vigtige. I stedet for farver kan du bruge numre, f.eks. 0, 1 og 2. Hvordan skal man skrive "regler for tilsætning" af en ny mursten? Det er klart, at et par identiske tal skal svare til det samme: (0, 0) → 0; (1, 1) → 1; (2, 2) → 2. Parametrene for forskellige tal svarer til det tredje: (0, 1) → 2 osv.Alle disse korrespondancer kan udskrives i en tablet:

012
0021
1210
2102

Er det muligt at indstille værdierne i denne tabel, ikke en tabel, men på en anden måde anderledes? Du kan prøve. For eksempel svarer enhederne i tabellen til parene (0, 2), (1, 1) og (2, 0) – dem med summen af ​​tal svarende til 2. Og to? De svarer til par (0, 1), (1, 0) og (2, 2) – til dem, hvor summen er enten 1 eller 4. Endelig svarer nullerne til par (0, 0), (1, 2) og (2, 1) – til dem, hvis sum er lig med enten 0 eller 3. Denne "eller" forvirrer lidt: hvis det f.eks. Ikke var tilfældet, at summen 3 svarer til 0, svarer summen til 2, og summen af ​​2 svarer til 1, så ville vi blot skrive en korrespondance formel: nummeret3 = 3 − (nummeret1 + nummeret2). På grund af enten vil reglen være lidt vanskeligere: hvis som et resultat nummeret3 vil ikke være som det skal være, så skal du muligvis tilføje 3 eller tage væk fra det 3. Men det er ikke så vigtigt. Det vigtigste er, at i alle tilfælde bestemmes farven på den næste mursten med summen farver af de mursten der står under den. Tænk over, hvordan en brigadier kunne bruge den.


beslutning

I stedet for formlen "nummeret3 = 3 – (nummeret1 + nummeret2) ", der vises i Tip 2, vil vi bruge en enklere en:"nummeret3 = – (nummeret1 + nummeret2) ".Det kan trods alt stadig være nødvendigt at tilføje 3 eller -3 til resultatet, så det er okay, hvis vi ikke gør denne tilføjelse / subtraktion af triplen med det samme, men "sæt det af for senere".

Antag at i bund (10) rækken er der teglsten der svarer til 10 tal: en, b, c, d, e, f, g, h, jeg, j. Vores formel giver dig mulighed for straks at skrive hele den overliggende (9.) serie:

(række 9) – (en + b), -(b + c), -(c + d), -(d + e), -(e + f), -(f + g), -(g + h), -(h + jeg), -(jeg + j).

Men så er også den ottende række skrevet ud: over tallene – (en + b) og – (b + c) skal skrives nummer – (-enbbc) = en + 2b + c. Således reduceres de dobbelte ulemper, og den ottende række vil være:

(række 8) en + 2b + c, b + 2c + d, c + 2d + e, d + 2e + f, e + 2f + g, f + 2g + h, g + 2h + jeg, h + 2jeg + j.

Vi overvejer yderligere. Numrene på den syvende række har formularen – ((en + 2b + c + b + 2c + d) = -(en + 3b + 3c + d). Her er det måske tid til at huske, at vi var enige om at udskyde alle tilføjelser og subtraktion af tripler "for senere" og gøre det samme med vilkårene 3b og 3c, multipel 3. Således kan vi antage, at det første nummer på den syvende række er lig med – (a + d). Så hele serien kan skrives på samme måde:

(række 7) – (en + d), -(b + e), -(c + f), -(d + g), -(e + h), -(f + jeg), -(g + j).

Næste har vi række 6, hvor den dobbelte minus er igen reduceret:

(række 6) en + b + d + e, b + c + e + f, c + d + f + g, d + e + g + h, e + f + h + jeg, f + g + jeg + j.

I en række 5 minutter vises igen (følg det første medlem, og så er alt det samme):

(række 5) – (en + 2b + c + d + 2e + f), -(b + 2c + d + e + 2f + g), -(c + 2d + e + f + 2g + h), -(d + 2e + f + g + 2h + jeg), -(e + 2f + g + h + 2jeg + j).

I række 4 reduceres både minuserne og en række vilkår, for hvilke koefficienten 3 viste sig at være: i stedet for en + 3b + 3c + 2d + 3e + 3f + g vi vil bare forlade en + 2d + g:

(række 4) en + 2d + g, b + 2e + h, c + 2f + jeg, d + 2g + j.

Mursten, og med dem og computing bliver det mindre:

(række 3) – (en + b + 2d + 2e + g + h), -(b + c + 2e + 2f + h + jeg), -(c + d + 2f + 2g + jeg + j);

(række 2) en + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + jeg, b + 2c + d + 2e + 4f + 2g + h + 2jeg + j.

Og endelig mursten i øverste række:

(række 1) – (en + 3b + 3c + 3d + 6e + 6f + 3g + 3h + 3jeg + j) = -(en + j).

Hvad betyder dette resultat? At farven på den øverste mursten bestemmes af summen af ​​kun to farver fra den nederste række – nemlig farverne på de to ekstreme klodser. Desuden bestemmes det af samme regel, hvorefter bygherrerne sætter hver næste mursten: den samme farve svarer til to, og den resterende farve svarer til to forskellige farver. Selvfølgelig gjorde brigadier-matematikeren alle disse beregninger og forenklinger (op til det færdige resultat) på forhånd, således at han i øjeblikket byggede mursten trekant så straks kun på de yderste klodser i den nederste række.


efterskrift

Jeg forsøgte specifikt at klare løsningen af ​​den primitive algebra for at bevare følelsen af ​​"fokus-bite" i læseren. Men nu er det tid til at forstå essensen af ​​dette fokus lidt dybere.

For det første kan du i en vis forstand glemme ulemperne: Som vi har set,linjerne med minusser og uden dem ændres bare, så vi kunne forstå fra begyndelsen at der vil være en minus i toplinjen.

For det andet, forkortelsen af ​​tripler, der blev brugt af os (første gang vi gjorde det i ottende linje), selv om det reducerer beregningerne, dunkler det essensen. Hvis vi ikke gjorde dette, ville vi se et udtryk for formularen i den syvende linje en + 4b + 6c + 4d + ei det næste – en + 5b + 10c + 10d + 5e + fog så videre. Bogstaverne i disse summer går alfabetisk, men hvad er sekvenserne af tal 1, 4, 6, 4, 1, derefter 1, 5, 10, 10, 5, 1, derefter 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1? Enhver mere eller mindre vidende i matematik vil genkende i disse sekvenser Pascals trekant:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

I denne trekant er hvert tal lig med summen af ​​to tal, der står en linje højere: direkte over det og ved siden af ​​det (til venstre). Faktisk bør udseendet af Pascal-trekanten ikke overraske os; for eksempel er tallet 15 en koefficient for c i form af en + 6b + 15c + 20d + … er summen af ​​de to koefficienter på med: man er taget fra udtrykket en + 5b + 10c + 10d + 5e + fog den anden fra udtrykket b + 5c + 10d + 10e + 5f + g. Med andre ord er summen af ​​den tredje (10) og anden (5) koefficient fra den foregående linje.

Således kan vi komme til den linje, vi har brug for. Koefficienterne i det – 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.Og da alle koefficienter, bortset fra de to ekstreme enheder, er divideret med 3, giver dette det ønskede resultat af "fokus".

Nu kan du prøve at tage et andet naturligt trin og stille spørgsmålet: Hvilke værdier af længden af ​​den nederste række af mursten (N) vil det samme trick arbejde? Vi fandt ud af, hvad der var godt N = 10. En anden egnet N = 4 (vi har allerede set, at linjen 1 3 3 1 svarer til summen af ​​de to ekstreme termer). Og hvad er værdierne? Det matematiske svar på dette spørgsmål er: under hvilke forhold N alle koefficienter (N – 1) -den linje af Pascals trekant, undtagen den sidste, flere af 3? Dette spørgsmål er meget vanskeligere end vores oprindelige problem, men svaret på det kan imidlertid opnås ved ganske elementære matematiske metoder: N – 1 skal have en effekt på tre Med andre ord er følgende egnet til fokus. N svarende til 28, så 82, 244, 730 osv. For mere om dette og generaliseringer af problemet til et andet antal farver, kan du læse på engelsk i artiklen af ​​Erhard Berends og Steve Humble "Triangle Mysteries" PDF, 552 Kb), offentliggjort i anden udgave af tidsskriftet Den matematiske intelligens for 2013 (doi 10.1007 / s00283-012-9346-4).


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: