Patchwork bordduk • Evgeny Epifanov • Populære videnskabsopgaver på "Elements" • Matematik

Patchwork duge

opgave

Dækker bordet for en vanvittig tefest, fandt Alice, at duken var farvet. Hendes venner tolererer ikke dette, og i virkeligheden er de ved at komme – op til 6 timer er der kun få minutter tilbage. Generelt er der ingen tid til vask, og bordet skal være dækket af noget. Heldigvis fandt Alice ti stykker stof, hvorfra hun klare at sy en ny duge. Dugen bør være en to-lag (dvs. tabel dække ethvert punkt to gange) til at modstå fremtidige te. Vil klare Alice, hvis bordet er en firkant med et areal på 5, og klude er kvadrater med et areal på 1? Strimler kan foldes som du vil, men du kan ikke rive dem (Alice har ingen sakse).


hjælpe

Alice kan håndtere og sy den ønskede duge. Det hjælper, at bordet – en firkant med et areal på 5 og hans side er \ (\ sqrt5 \), og dette nummer er et heldigt sammentræf samme hypotenusen i en retvinklet trekant med ben 1 og 2.


beslutning

Konstruktionen er vist i fig. 1: først er det nødvendigt at sy fra 9 strimler square 3 × 3, og derefter – at folde hjørnerne dannet ved retvinklet trekant med benene 2 og 1 (hvis segmenterne bøjning som vil bestå grænsebetingelser duge, vil være lig til \ (\ sqrt5 \)), og derefter sy i midten af ​​den resterende tiende rist.Benene på de bøjede hjørner docker med hinanden, så i midten er der kun en 1 × 1 firkant.

Fig. 1. Dette er en dobbeltsidet duge til et firkantet bord med et areal på 5. Den ene side af strimlerne er orange, den anden er grøn.


efterskrift

Dette problem blev foreslået af V. Arbitrariness (det var under nummer M1755 i "Quant" af "Quant" "med en lidt anden formulering, men essensen var nøjagtig den samme). Forfatterens løsning er noget anderledes end den, vi vurderede: Det blev foreslået at tage to kryds af fem individuelle firkanter, at bøje flere hjørner på en bestemt måde og at kombinere disse krydsninger med hinanden (figur 2).

Fig. 2. En anden løsning på problemet med ti patches. Figur fra M. Petkovas artikel "Kvant servietter" og Pythagoras sætning ("Kvant" nr. 3 for 2012)

Den givne løsning af problemet blev foreslået af M. Petkova i artiklen "Napkins of Quantum" og Pythagorean-sætningen (offentliggjort i Quantum No. 3 for 2012). Det er lidt uventet, at det var inspireret af det geometriske bevis på den pythagoriske sætning, som i lang tid var kendt: Du skal tage fire kopier af en retvinklet trekant med ben. enb og hypotenuse c og fold dem indad, så at hypotenuse kvadraterne (fig. 3, venstre).Så i midten vil der være et hul – en firkant med en side enb. Det er fortsat at beregne området: \ (c ^ 2 = 4 \ frac % 2+ (a-b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. \)

Fig. 3. Beviset om den pythagoriske sætning og konstruktionen til løsning af problemet. Tal fra M. Petkovas artikel "Servietter af kvantum" og den pythagoriske sætning "(" Quant "nr. 3 for 2012)

Hvis imidlertid hver rektangulær trekant reflekteres i denne konstruktion i forhold til dens hypotenuse, så vil konstruktionen "udfolde sig" og blive den samme som i løsningen (figur 3, højre).

Undervejs opnås også dette resultat: området af det indskrevne firkant svarer til halvdelen af ​​et stort firkant og en lille hvid firkant. Denne kendsgerning hjælper med at løse andre lignende dækproblemer:
1. (Opgave M1905, V. Skilsmisse) Dækk et 5 × 5 kvadratbord i to lag med 50 1 × 1 kvadratservietter, så ingen kant af serviet ligger på kanten af ​​bordet.
2. (Opgave M1944, V. Proizvolov) Hvordan dækker man en firkantet tabel af område 5 i fire lag med fem firkantede servietter, hvor hver af dem er 4?

Prøv at løse disse problemer selv.

Det viser sig, at det er relativt nemt at besvare det generelle spørgsmål: under hvilken naturlig n firkantet bordområde n kan dækkes i to lag 2n kvadratiske servietter område på 1? Svaret er: med sådan n, som kan repræsenteres som en sum af kvadrater af to heltal (den usynlige tilstedeværelse af den pythagoriske sætning er følt, er det ikke?). Det fulde bevis kan findes i den angivne artikel af M. Petkova, vi bemærker kun, at den er baseret på en meget elegant begrundelse om parket på flyet.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: