Punkter og linjer • Nikolay Avilov • Populære videnskabsproblemer om "Elements" • Matematik

Point og lige

opgave

Som vi bliver undervist i skolen i geometriske lektioner, gennem to forskellige punkter, er det muligt at tegne en lige linje. Vi kan sige, at et par punkter definerer en unik linje. Men hvis der er flere point, så kan antallet af linjer, de definerer, være forskellige. Afhængigt af placeringen kan tre punkter f.eks. Definere tre lige linjer (hvis disse punkter er hjørner af en ikke-degenereret trekant) eller en lige linje (hvis disse punkter er kollinære, dvs. de ligger på en lige linje). Hvis der er endnu flere point, så er der flere muligheder for deres fælles arrangement, derfor svarene på spørgsmålet "hvor mange direkte dem n Der vil være mange point. "Men denne opgave er foreslået at håndtere specifikke konfigurationer af point, og vi vil diskutere nogle generelle spørgsmål senere.

Fig. 1

a) På et rutet papir tager vi en firkant med en side af fem celler og markerer alle punkterne indenfor den og på grænsen – vi får 36 point i form af et 6 × 6 kvadratgitter (figur 1). Hvor mange direkte bestemme disse punkter? Og hvis 64 point (i form af et 8 × 8 gitter)?

b) Længden af ​​kanterne af en regelmæssig tetrahedron er lig med 4. På hver af dem er der markeret tre punkter, der deler kanten i enhedssegmenter. Tetrahedronens toppe er også markeret. Hvor mange linjer definere alle markerede punkter?


hjælpe

Prøv at tælle linjer defineret af et mindre antal point – 4, 9 eller 16 point. Hvis svarene er 6, 20 og 62 direkte, så er du på rette spor.

Det største problem er, at nogle lige linjer kun passerer gennem to markerede punkter, og nogle gennem tre eller flere markerede punkter. Ved løsning af et problem er det vigtigt at organisere et system til at tælle lige linjer.


beslutning

Vi deler alle lige linjer i uensartede klasser af parallelle lige linjer. Rette linjer med en hældning falder ind i hver klasse. k.

Fig. 2. Nogle af klasserne af parallelle linjer

I fig. 2 viser nogle klasser af linjer. Deres andre end 0 og 1 kantede koefficienter – det er alle former for ordentlige irreducible fraktioner, hvis nævneren ikke er større end 5. For at få alle de klasser i almindelighed, er det nødvendigt at tage hensyn til symmetrien i billedet. Så når man beregner, – og tallene der netop er tilbage for at tilføje, – antallet af linjer i klasser med k = 0 og k = 1 skal fordobles, og i andre klasser – fire gange. Resultatet er 2 × (6 + 9) + 4 × (5 + 4 + 3 + 2 + 10 + 6 + 15 + 12 + 12) = 306 linjer.

En tilsvarende beregning for 64 point giver 938 linjer.

Lad os nu beskæftige os med tetrahedronen. Dette problem kan straks overvejes i almindelig form. Lad rammen af ​​en tetrahedron med en kant af længden m divideret med prikker i enkelt segmenter.Hvor mange forskellige lige linjer definerer disse punkter og selve tetrahedronens hjørner?

Tetraederet har 4 hjørner og 6 kanter. Sammen med hjørner og opdelingspunkter på tetrahedronrammen er 4 + 6 markeret (m − 1) = 6m – 2 point. Hvis alle disse punkter var i almindelig stilling (det vil sige, at ingen af ​​dem ville ligge på samme linje), så ville de definere (6m − 2)(6m − 3)/2 = (3m − 1)(6m – 3) lige linjer (fordi hvis punkterne er i den generelle position, så definerer en hvilken som helst af dem deres egen lige linje). Nu skal vi tage højde for at på hver kant af tetrahedronen er markeret med m + 1 point ikke i generel position. Hvis disse punkter var i generel stilling, ville de definere m(m + 1) / 2 lige linjer. Men alle disse linjer falder sammen – dette er en linje, der indeholder den givne kant af tetraederen. Derfor er det samlede antal linjer defineret af de angivne punkter (3m − 1)(6m − 3) − 6·m(m + 1) / 2 + 6. Efter forenkling får vi 15m2 − 18m + 9 lige linjer. I vores opgave m = 4, så svaret er 177 linjer.


efterskrift

Hvis vi anvender den begrundelse, at vi plejede at besvare det første spørgsmål af problemet, så kan vi finde svar på andre kvadrater fra n2 point. Her er de for n fra 2 til 10: 6, 20, 62, 140, 306, 536, 938, 1492, 2306. Denne sekvens er inkluderet i Online-encyklopæden af ​​heltalsekvenser under nummer A018808.

Er der en relativt enkel formel til at udtrykke nummeret N Sådanne linjer for vilkårlig n? Lad os prøve at kigge efter hende.

Vi bruger to kendte fakta fra forekomstenes geometri.

1) Hvis på flyet kryds k punkter i den generelle position (husk at dette betyder, at ingen af ​​disse punkter ligger på en lige linje), så er antallet af forskellige lige linier defineret af disse punkter lig med k(k − 1)/2.

Vi anvendte denne erklæring i løsningen, og det er let bevist ved induktion.

2) Hvis på flyet kryds k punkter, der ikke er på samme linje, så definerer de i det mindste k forskellige lige linjer.

Den anden sætning lyder ret indlysende, men den blev først først bevist i midten af ​​det tyvende århundrede og er nu kendt som de Bruin-Erdёos sætning.

Baseret på disse to egenskaber kan du foretage estimater af nummeret N(n). Brug den anden kendsgerning, vi får den nedre grænse: N(n) ≥ n2. Ved hjælp af det første faktum, får vi det øvre skøn: N(n) ≤ n2(n2 – 1) / 2 er antallet af linjer bestemt n2 punkter i den generelle holdning.

Det betyder, at hvis der er en formel N (n) i form af et polynom fra n, – og dette er nok den enkleste form for en formel, – dette polynom kan kun have 2, 3 eller 4 grader. Brug ovenstående første få værdier Nved hjælp af metoden for ubestemte koefficienter kan det påvises, at der ikke er nogen formel i form af et sådant polynom.

Lad os prøve en anden tilgang og generalisere metoden til at tælle linjer ved at dele parallelle klasser i klasser. Hver klasse omfatter alle parallelle linjer med en vinkelkoefficient k = en/b (i det følgende er fraktioner regelmæssigt irreducible).

Da en hvilken som helst linie på flyet er entydigt bestemt af vinkelkoefficienten og et punkt, for hver klasse med k = en/b På det stiplede firkant skal du vælge de punkter, der definerer alle linjerne i denne klasse. I dette tilfælde er der to tilfælde mulige:
1) hvis b < n/ 2, så punkterne definerer alle lige linjer med en vinkelkoefficient en/b, er placeret inde i de blå og grønne rektangler vist til venstre i fig. 3 og deres b·(nen) + en·(n − 2b) = n·(en + b) − 3ab;
2) hvis bn/ 2, så punkterne definerer alle lige linjer med en vinkelkoefficient en/b, er placeret inde i det blå rektangel vist til højre i fig. 3, og dem (nen) (nb).

Fig. 3. Point, hvor du kan definere alle linjer fra en given klasse i en firkant på 100 point. Venstre eksempel på k = 2/3, til højre – for k = 2/7

Antal N(en/ba) lige linjer i klasse c k = en/b svarende til antallet af udvalgte punkter og beregnes ved hjælp af de ovenfor anførte formler.

Derfor nummeret N(nalle direkte, givet n2 point kan beregnes ved hjælp af formlen:

\ N (n) = 2 (N_0 + N_1) +4 \ sum \ grænser_ {b = 2} ^ {n-1} \ sum \ limits_ {a = 1} ^ {b-1} N \ left frac ab \ right) \]

hvor N0 = n – antal vandrette linjer N1 = 2n – 3Antallet af linjer parallelt med firkantets diagonale. Denne formel er nem at programmere og kontrollere, at resultaterne matcher.

Man kan også få tilbagevendende relationer til antallet af lige linjer bestemt af prikfirkanter, men de viser sig også at være ret besværlige. For detaljer henvises til artiklen S. Mustonen, 2009. På linjerne og deres skæringspunkter.

Argumenterne, der blev givet til den korrekte tetrahedron i opløsningen, virker for enhver konveks polyhedron, hvori alle kanter er ens i forhold til hinanden. Faktisk blev der ikke anvendt nogen specifikke tetrahedronegenskaber overalt, kun antallet af dets hjørner og kanter blev taget i betragtning. Så ræsonnementet gentages næsten ordentligt.

Lad dig være en polyhedron B hjørner og P ribben. Sammen med hjørner og skillelinjer på rammen af ​​polyhedronen markeret den + P(m – 1) point. Hvis alle disse punkter var i generel position, ville de definere \ (\ frac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) \) linjer). Men på hver kant af polyhedron er markeret med (m + 1) et punkt, som, hvis de var i generel stilling, ville bestemme m(m + 1) / 2 lige linjer, men i stedet definerer de kun en lige linje, der indeholder en kant. Dette betyder, at alle skal trækkes fra det samlede antal, og antallet af linjer, der indeholder kanter, skal tilføjes. lykkes

(B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) -P \ cdot \ dfrac12m (m + 1) + P ..]


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: