Nøjagtig positionering • Evgeny Anikin, Evgeny Epifanov • Populære videnskabsopgaver på "Elements" • Matematik, Fysik

Præcis positionering

opgave

Mange er bekendt med satellitnavigationssystemer. Den mest berømte – den russiske GLONASS og den amerikanske GPS – bruges nu næsten overalt i bilnavigatorer og smartphones. Generelt er driften af ​​disse systemer som følger. Familien af ​​satellitter koordineres af jorden kontrolcentre, så hver satellit "kender" sin position, og at tiden på dem er synkroniseret. Satellitterne sender konstant disse data (rumlige koordinater og tid) til jorden, og brugerenheder tager det og forsøger at beregne deres koordinater i realtid.

Baseret på en sådan forenklet ordning, fortæl mig hvor meget skal satellitterne "se" brugerens modtager på samme tid for at præcist (sige med en fejl inden for 20 m) bestemme deres position?


hjælpe

Modtagerens opgave er at beregne dets koordinater fra dataene fra satellitterne. Koordinater er tre rumlige variabler, så der kræves et system med mindst tre ligninger for at bestemme dem (det vil sige data fra mindst tre satellitter er nødvendige). Tænk på, hvordan disse ligninger kan opnås i vores forenklede situation og af hvilken teknisk grund er de tre ligninger faktisk ikke nok.


beslutning

Så brugerens modtager, siger navigatøren, modtager fra hver af satellitterne et signal med tre rumlige koordinater for satellitten og tidspunktet for afsendelse af dette signal. Disse data er nok til at udtrykke afstanden fra satellitten til navigatoren på to måder og opnå de nødvendige ligninger.

Hvis navigatorens nødvendige koordinater (x, y, z) og satellitkoordinater (xs, ys, zs), så er der ved Pythagoras sætning afstanden mellem dem

\ (\ sqrt {(x-x_s) ^ 2 + (y-y_s) ^ 2 + (z-z_s) ^ 2} \).

Signalet fra satellitten formeres ved lysets hastighed. med, så hvis det blev udsendt på et tidspunkt t0, og modtaget af navigatøren i øjeblikket t1så er den samme afstand lig med c(t1t0). Dette giver ligningen. Data fra tre satellitter giver dig mulighed for at lave et system med tre ligninger for tre ukendte (x, y, z). Hvad er fangsten?

Den kendsgerning, at det ukendte ikke er rigtig tre, men fire, fordi du ikke kan regne med den høje præcision af uret i navigatoren. For eksempel er den fejl er en ti-tusindedel procent – når, i stedet for en anden ur, måler 1.000001 sekunder, og for måneden akkumuleres kun omkring to og en halv ekstra sekunder – vil give en fejl på omkring 20 meter i bestemmelsen af ​​afstanden til satellitten.I almindelige ure er nøjagtigheden af ​​slagtilfælde flere gange lavere, og fejlmultiparten øges. Derfor introduceres en anden ukendt i beregningerne – modtagerklokkefejl. På grund af dette er der behov for en anden ligning, hvilket betyder at der skal være mindst fire satellitter.


efterskrift

I de virkelig arbejdende satellitnavigationssystemer er alt selvfølgelig meget mere kompliceret. Beregningen af ​​navigatorens koordinater på mange måder tager højde for mange faktorer, der introducerer fejl ved bestemmelsen af ​​den nøjagtige position: disse er problemer med at bestemme positionerne for satellitterne selv, signalforvrængning indført af atmosfæren og endda relativistiske effekter. En detaljeret diskussion af disse problemer findes i artiklen Fejlanalyse for Global Positioning System, samt den litteratur, der er angivet heri.

GLONASS satellitter er placeret i cirkulære baner med en højde på 19.400 km. Nu er der 27 satellitter i stjernebilledet, hvoraf 24 bliver brugt til deres formål (yderligere to er i reserve og en er i testfasen). Som det fremgår af figuren er satellits baner opdelt i tre familier.

Orkaner af satellitter fra GLONASS-systemet (blå linjer). Satellitterne selv er udpeget røde prikker. Grå prikker – andre satellitter.Det ses, at Jorden er indhyllet i en "sky" af et stort antal satellitter i nærheden af ​​jorden, og en familie af satellitter i geostationær kredsløb ses også. Billede fra stuffin.space

Følgende spørgsmål opstår: Hvad er det mindste antal satellitter, der er nødvendige for at tilvejebringe fuldstændig dækning af Jorden, og således at der til enhver tid punkt er fire satellitter synlige fra ethvert punkt på overfladen? Selvfølgelig skal du selv lave mange forenklinger med det samme og reducere opgaven til en rent geometrisk (sand er geometrien sfærisk her): Jorden skal betragtes som en kugle, kredsløb – cirkler, hvis centre falder sammen med centrum af kuglen, kredsløb fra en familie – sammenfaldende. Er det muligt, uden at ty til en computer, at få et nøjagtigt skøn over det mindste antal satellitter?

Ifølge beregningerne af problemets forfattere kunne teoretisk set 18 satellitter være tilstrækkelige til GLONASS. Hvis en læser får en lavere rating på en relativt simpel måde (og uden hjælp fra en computer), vil vi gerne finde ud af det. Generelt set er ræsonnementet som følger. Lad seks satellitter rotere med jævne mellemrum langs en ækvatorial bane med en radius på 25.800 km. Derefter kan det beregnes, at der ved breddegrader mindre end 60 ° er mindst to satellitter altid synlige.

Faktisk kan en satellit i en sådan bane ses fra en sfærisk cirkel med en radius

\ (\ alpha = \ frac \ pi2- \ mathrm % \ venstre (\ frac R {r_s} \ højre) \ ca.75 {,} 6 ^ \ circ \)

hvor R = 6400 km er jordens radius og rs = 25 800 km – radius af satellitbanen. Ordet "radius" (og andre henvisninger til længder) betyder herefter en sfærisk radius, det vil sige den vinkelmåling af buen af ​​en stor cirkel af en kugle. Når satellitterne er jævnt fordelt i kredsløb, er centrene for de tilsvarende cirkler (synlighedsområder) 60 ° adskilt fra hinanden ved ækvator. Hvis vi tegner tre sådanne successive cirkler, er det klart, at over midten af ​​midten er der en zone, hvor kun en satellit er synlig. Det nederste punkt i denne zone er skæringspunktet for cirklerne ved siden af ​​midten. Derfor er zoneets maksimale bredde, hvor mindst to satellitter altid er synlige, højden af ​​en sfærisk trekant med sider (2π / 3, α, α). Højde kan findes af Napiers formler, fordi den deler denne trekant i to lige og danner en ret vinkel med ækvator.

Således er der for hvert kredsløb to sfæriske "hætter" med en radius mindre end 30 °, hvor mindst to satellitter ikke altid er synlige. Tre sådanne "kapper" kan let placeres på en halvkugle uden kryds: Du kan lineere langs en stor cirkel, der passerer gennem stangen.De vil ikke kravle over halvkuglen, fordi "løsning" af den centrale vinkel for hver "hætte" er mindre end 60 °, dvs. alle tre "hætter" passer ind i 180 °. Når de kan placeres på denne måde, vil de tilsvarende tre kredsløb med seks satellitter på hver dække hele jorden og fra hvert punkt på jordens overflade vil fire satellitter altid være synlige. Når alt kommer til alt, hvis vi er inde i en "cap", der tilhører en enkelt kredsløb, er vi uden for to andre "caps", og på hver af de tilsvarende to kredse ser vi altid mindst to satellitter.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: