Måder på rutet papir • Evgeny Anikin • Populære videnskabsopgaver på "Elements" • Matematik

Stier på rutet papir

opgave

Givet nummeret p fra segmentet [0, 1]. Overvej et rutet halvplan, hvor alle celler er malet rødt. Med hver celle skal du gøre følgende operation: kaste "p"mønt", som med sandsynlighed p falder ud af en ørn og med en sandsynlighed for 1 – p – Haler, og hvis ørnen faldt, skal du derefter male buret i blåt. Når denne operation er udført med alle cellerne, sættes der en specialuddannet myr på halvplanets grænse, som kan bevæge sig frit langs halvplanets grænse, men kan kun gå langs den blå (myren kan kun krybe i de blå celler ved siden af ​​den).

Det er klart, hvis sandsynlighed p meget lille da bcirkaDe fleste af cellerne er ikke malet over, og myren vil sandsynligvis kun kunne flytte en begrænset afstand fra halvplanets kant. I kontrast, hvis nummeret p tæt nok til en, så myren sandsynligvis vil kunne trække sig så langt væk som muligt fra kanten.

Det viser sig, at der er en "kritisk" værdi p = pcrithvor den begrænsede bevægelse af en myr næsten helt sikkert giver plads til ubegrænset. Sådan finder du er denne værdi?


Tip 1

Prøv mentalt at kombinere celler i 2 × 2 blokke.Hvis vi glemmer den interne struktur af disse blokke, får vi et problem svarende til den oprindelige. Men i den nye opgave vil sandsynligheden for at "male over" blokken ikke falde sammen med den indledende værdi, men vil have en ny værdi p1afhængigt af p. Det første skridt til at løse problemet er at finde det. p1.

Den beskrevne ide, nemlig udskiftning af en opgave med en tilsvarende opgave med blokke, er ikke helt streng, men det giver mulighed for at finde svaret.


Tip 2

Hvis du formåede at få formlen til p1, p1 = f(p), fortsæt med at forstørre nettet. Du kan kombinere blokke i nye blokke og fortsætte denne proces ad infinitum. Og ved hvert næste trin pn+1 vil være lige f(pn). Tænk som adfærd pn afhængigt af n afspejler en myrs evne til at rejse for vilkårlige lange afstande. Bestem den kvalitative udvikling pn til forskellige indledende værdier. For dette kan det være meget nyttigt at oprette en graf. y = f(x) og sammenligne det med funktionsgrafen y = x.


beslutning

Som nævnt i spidsen, kombineres mentalt cellerne i 2 × 2 blokke, og vi overvejer disse blokke som nye celler. Lad os stille os selv spørgsmålet: I hvilket tilfælde kan blokken betragtes som skygget? For at gøre dette kan du forestille dig, at myren er på oversiden af ​​blokken,og find sådanne konfigurationer af skraverede celler, hvor myren kan passere til undersiden.

Der er 24 = 16 konfigurationer, som er forskellige i antallet og placering af blåceller. Lad os undersøge sagerne med forskellige antal fyldte celler (figur 1). Selvfølgelig, hvis fire eller tre celler males over, kan myren altid bevæge sig fra den øverste kant af blokken til den nederste. Hvis to celler er malet over, så ud af seks mulige steder, er to muligheder egnede, når cellerne er over hinanden. I alle andre tilfælde vil myren ikke passere gennem blokken.

Fig. 1. Nogle muligheder for placeringen af ​​celler i blokken. optioner a), b), c) svarer til den acceptable blok d), e), f) – umulig

Følgende billede opnås: en konfiguration med 4 blå celler, fire med tre blå celler og to med to. Det er nemt at beregne, at hvis der for en celle sandsynligheden for at være skygge er pså er sandsynligheden for at passere gennem blokken p1 = f(p) = p4 + 4p3(1 − p) + 2p2(1 − p)2 = 2p2p4.

Vi vil fortsætte processen med at udvide gitteret, det vil sige fusioner blokke i nye blokke. Så ved hvert trin får vi en ny sandsynlighed for, at en blok af den næste størrelse kan males over ved hjælp af formlen \ (p_ {n + 1} = 2p_n ^ 2- p_n ^ 4 \).Dette er en ret kompliceret gentagelsesforbindelse, og man kan næppe finde her en eksplicit formel til pn. Men dette er ikke nødvendigt: hvis du opbygger en graf f(p), så kan du kvalitativt forstå opførelsen pn afhængigt af n.

Fra grafen er det klart, at f(p) skærer linjen y = p på et enkelt punkt pcrit (Fig. 2). ved p > pcrit Forholdet er opfyldt f(p) > pog når p < pcrit – forhold f(p) < p. Så hvis den oprindelige værdi er p0 = pcritdet er alt sammen pn = pcrit. hvis p0 > pcrit, sandsynligheden vil stige med iterationer, og hvis p0 < pcritderefter falde.

Fig. 2. En stige, der repræsenterer iterationer af recidiveringsforholdet \ (p_ {n + 1} = 2p_n ^ 2- p_n ^ 4 \). Blå prik svarer til den indledende værdi p

Grafisk itererede gentagelsesforhold pn+1 = f(pn) hvor f(x) = 2x2x4er beskrevet af stigen vist i figur 2. Princippet om konstruktion af stigen er: udsættelse pn på x-aksen. Så er punktet for grafen svarende til pn, har en ordinat pn+1. At markere pn+1 På x-aksen trækker du gennem punktet i grafen med koordinater (pn, pn+1a) vandret linje til krydset med en lige linje ved = p. Krydsningspunktet har en abscisse. pn+1, og du kan fortsætte iterationen i samme ånd.

Overvej bestemt en stige svarende til p0 < pcrit. Fra figuren er det klart, at pn ikke bare falder, men har tendens til at være nul! Tilsvarende, hvornår p0 > pcrit sandsynligheden har en tendens til. Det betyder, at når p0 < pcrit myren vil næsten bestemt ikke være i stand til at passere gennem en blok af tilstrækkelig stor størrelse og omvendt vil næsten helt sikkert passere gennem blokken, når p0 > pcrit.

Det er stadig at finde pcrit. Til dette skal du løse ligningen p = 2p2p4. Dette er en fjerde graders ligning, men to rødder er kendt (de er nemme at finde ved markering): disse er 0 og 1. Hvis vi deler polynomet p3 − 2p + 1 på p – 1, vi får en firkantet tredobbelt p2 + p – 1, som har en positiv rod \ ((\ sqrt5-1) / 2 \ ca 0 {,} 618 \). Den nøjagtige kritiske sandsynlighed, der blev fundet ved hjælp af en computer, er 0,592746. Således er den relative fejl i vores svar 4%.

Fig. 3. Uoverskuelig kombination af to blokke

Årsagen til uoverensstemmelsen er, at ideen om at kombinere celler i blokke ikke er så streng som allerede nævnt. Overvej f.eks. To blokke placeret som i figur 3. Begge disse blokke blev betragtet som "acceptable" i vores løsning, men det er indlysende, at man ikke kan gå gennem en sådan kombination af blokke. Men vores beslutning tager fat på essensen af ​​fænomenet, med hvilken en ret lille fejl er forbundet.Vi tilføjer, at den nøjagtige analytisk udtryk for den kritiske sandsynlighed stadig er ukendt, selv, selvfølgelig kan du få en mere præcis tilnærmelsesvis vurdering.


efterskrift

Faktisk navn og tilstand dette problem – Masking kendt nedsivning problemet (fra engelsk. nedsivning – flow). Faktisk kan den millimeterpapir ses som et porøst medium, og bevægelsen af ​​en myre – ligesom spredning af væsken. Og vores opgave er direkte relateret til det virkelige fysiske problemer af passagen af ​​væsken gennem det porøse materiale. Desuden er forbindelsen af ​​problemet med nedsivning fra fysikken ikke begrænset til denne analogi, og gå meget dybere. Der er vigtigt, ikke hvordan ordlyden af ​​svaret, som en tilgang til en løsning. Anvendt af os og den mest kloge læsere skalering idé er usædvanlig rig anvendelse i fysik. En lignende fremgangsmåde, kaldet renormalisering gruppe (eller renormalisering gruppe), almindeligt kendt inden for quantum teori, faststoffysik teori og andenordens faseovergange. Af den måde, hvad vi har set, det kan endda tolkes som en fase overgang mellem to stater: på begrænset og ubegrænset bevægelsesfrihed.

Problemet med perkolering i sin rene form er også meget kompleks og interessant.Den kan placeres ikke kun for rutet papir, men også til ethvert gitter og endda for enhver graf. I nogle tilfælde er eksakte svar kendt for kritiske sandsynligheder, men som regel skal de søges numerisk. Resultaterne af vores beregninger for sandsynligheder tæt på kritiske er vist i nedenstående figurer. Det kan ses, at det område, der er tilgængeligt for myren, har en kompleks fraktalstruktur. Hertil kommer en lille ændring p – kun for hundrededele – meget ændrer billedet.

Fig. 4. Resultater af numerisk simulering af permeabilitetszonen (sort) i vores problem for forskellige værdier p. Fra venstre til højre: p = 0,57, p = 0,585, p = 0,6

Bemærk at simuleringen af ​​percolation og andre lignende processer ikke er nogle abstrakte eller forældede opgaver. Deres relevans bekræftes f.eks. Af, at Fields Medal for nylig blev tildelt russisk matematik Stanislav Smirnov for 2010 for sit arbejde på dette område. Læs også artiklen "På moderne matematik og dens undervisning" ("Kvant" nr. 2 for 2011), hvor Stanislav blandt andet taler om modellering percolation og om hans resultater på dette område.

Afslutningsvis vil vi diskutere et andet problem relateret til percolation. Nemlig, hvordan afhænger dybden af ​​ant penetration phvis p < pcrit? Svaret kan fås ved hjælp af vores tidligere begrundelse. Lad p0 = pcrit – ε, hvor ε er meget lille. Derefter vil vi i meget lang tid få en meget tæt på kritisk sandsynlighedsværdi ved at anvende den iterative procedure, der er beskrevet i løsningen. På den anden side er det klart, at "lækagen" forsvinder nøjagtigt, når p meget mindre pcrit. Så gennemtrængningsdybden er omkring størrelsen af ​​blokken, for hvilken p meget mindre pcrit.

For at få et kvantitativt svar skal du gøre en anden forenkling. ved ppcrit kan erstatte f(p) på pcrit + df/ dp·(ppcrit) hvor df/ dp – derivat af funktionen f. På det tidspunkt pcrit det er lig med \ (4 (p_ % – p_ % ^ 3) = 6- 2 \ sqrt5 \). derfor,

\ (p_ {n + 1} – p_ % = \ mathrm % f / \ mathrm % p \ cdot (p_n- p_ %) \)

det er med ppcrit vores gentagelsessekvens er meget tæt på eksponentielt, og vi kan skrive

\ (p_n- p_ % = (\ mathrm % f / \ mathrm % p) ^ n \ cdot (p_0- p_ %) \).

Vi skal finde sådan nat pnpcrit ≈ 1.

Ved at løse ligningen opnår vi \ (n = \ ln (1 / \ Delta p_0) / \ ln (\ mathrm % f / \ mathrm % p) \), og den tilsvarende blokstørrelse er \ (L = 2 ^ n = (1 / \ Delta p_0) ^ {(1 / \ ln (6- 2 \ sqrt5))}. \)

Desværre er dette svar, som svaret for en kritisk sandsynlighed, ikke præcis. Konklusionen om kraftafhængigheden af ​​dybden af ​​indtrængning på sandsynligheden er imidlertid korrekt. Og det er en meget vigtig konklusion, fordi en sådan magtafhængighed er typisk for alle faseovergange af den anden slags.

I faseovergange af den anden slags, som i alle normale faseovergange, ændres tilstandens tilstand med temperatur. Særlig kontrast faseovergange – ved, at overgangen fra et fysisk system ændrer symmetri, dvs. i en forstand opadgående overgang fra "en symmetrisk" fase til den mindre symmetriske. Den enkleste eksempel – overgangen mellem det ferromagnetiske og paramagnetiske: den kritiske temperatur for de magnetiske momenter af atomerne er anbragt langs en retning, hvilket skaber magnetiseringen (og derved bryde symmetri). Bemærk, at den paramagnetiske tilstand som regel realiseres ved en højere temperatur og den ferromagnetiske tilstand ved en lavere temperatur.

Fænomener ved en temperatur tæt på den kritiske har meget fælles med opgaven med percolation. I eksemplet om para- og ferromagnetiske ved lave temperaturer, og dens tilnærmelse til en kritisk begynde at danne små klynger af atomer med magnetiske momenter i samme retning. Det viser sig, at dette billede af klynger ligner meget de områder, der er tilgængelige for en myre i perkoleringsproblemet.Og den karakteristiske klyngestørrelse (som mere korrekt kaldes korrelationslængden) afhænger af (TTc) i henhold til strømloven, ligesom i perkoleringsproblemet afhænger klyngestørrelsen ppcrit.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: