Teori for modsigelse for at være

Teori for modsigelse for at være

Alexander Muzykantsky
"I verden af ​​videnskab" №3, 2007

Når det kommer til de mest fremtrædende opdagelser i det tyvende århundrede, henvises almindeligvis til Einsteins relativitetsteori, kvantemekanik og Heisenbergs usikkerhedsprincip. Imidlertid omfatter mange fremtrædende forskere – matematikere og filosoffer – blandt de største resultater af den videnskabelige gennemgang af det sidste århundrede Godels sætning. Hvis epokale gennembrud inden for fysikens område muliggjorde det menneskelige sind at forstå nye naturlover, gav Gödels arbejde jo en bedre forståelse af det menneskelige sindes handlinger og havde en stor indflydelse på verdenssyn og kultur i vores tid.

Hvem er Godel?

Kurt Gödel blev født den 28. april 1906 i Østrig-Ungarn, i den moraviske by Brno (dengang blev den kaldt Brünn). Klokken 18 gik han ind i universitetet i Wien, hvor han først studerede fysik, men to år senere skiftede han til matematik. Det er kendt, at en sådan ændring af videnskabelige interesser stort set fandt sted under påvirkning af Bertrand Russells bog Introduktion til matematikfilosofien. En anden kilde, der havde en betydelig indflydelse på dannelsen af ​​Gödel som videnskabsmand, var hans deltagelse i Wienerkirkens arbejde.Under dette navn kom en samling briljante forskere – matematikere, logikere, filosoffer – som regelmæssigt mødtes i Wien fra slutningen af ​​20'erne til midten af ​​30'erne – ind i videnskabens historie. i det sidste århundrede. Sådanne forskere som Rudolf Carnap, Otto Neurath, Herbert Feigl, Moritz Schlick deltog i Wienerkirkens arbejde på forskellige tidspunkter. Med deres aktiviteter forbundet med dannelsen af ​​filosofisk positivisme. Men cirkelens emne dækkede faktisk forståelsen af ​​det generelle sted for videnskabelig viden i viden om natur og samfund. Flere internationale konferencer arrangeret i forskellige europæiske videnskabelige centre tyder på, at den wienske cirkel spillede en fremragende rolle i udviklingen af ​​grundlæggende videnskabelige viden i det tyvende århundrede. Kurt Godel deltog i næsten alle "torsdag" møder i gruppen og i internationale konferencer arrangeret af ham. Cirkelens aktivitet i Østrig blev afbrudt i 1936, da dens leder Moritz Schlick blev dræbt af en naziststudent på trinene fra universitetet i Wien. De fleste medlemmer af cirklen emigreret til USA. Kurt Godel flyttede også der. Med tiden modtog han amerikansk statsborgerskab, han arbejdede ved Institut for Højere Studier i Princeton. I samme by døde han i 1978. Sådan var hans livs ydre disposition.Hans bekendte og kolleger huskede ham som en mand af en lukket, smerteligt sårbar, løsrevet fra omverdenen, helt nedsænket i hans tanker.

Kurt Godel (1906-1978). Foto: "I videnskabens verden"

Den kendsgerning, at verdens logiske forståelse besatte hovedstedet i en forskers liv, siger en nysgerrig detaljer i hans biografi. I 1948, da spørgsmålet om at opnå amerikansk statsborgerskab blev besluttet, måtte Godel i overensstemmelse med den vedtagne procedure passere noget som en mundtlig eksamen i det amerikanske grundlags grundlæggende grundlag. Nærmer sig problemet med al den videnskabelige integritet, han studerede grundigt dokumentet og kom til den konklusion, at et diktatur kunne etableres i USA ved lovlige midler uden at overtræde forfatningen. En sådan opdagelse kostede ham næsten en fejl i prøvetiden, da han indgik en diskussion med en embedsmand, der tog testen, som selvfølgelig betragtede sin stats grundlæggende lov for at være den største opnåelse af den politiske tankegang. Venner, blandt dem var Albert Einstein, der talte som en af ​​Gödels to garantister, da han modtog statsborgerskab, overtalte ham til at forsinke udbredelsen af ​​hans argument i det mindste før han tog eden.Senere modtog historien en nysgerrig epilog: et kvart århundrede senere, en anden amerikaner, Kenneth Arrow, vandt Nobelprisen for at bevise den generelle opfattelse, som Godel kom til efter at have studeret den amerikanske forfatning.

Hvad viste Gödel?

Før vi vender tilbage til sætningen, der udødeliggjorde navnet Gödel, er det nødvendigt at kort beskrives de problemer, som matematikken står over for i slutningen af ​​20'erne af det sidste århundrede, mere præcist, dets afsnit, der stod ud ved omgangen af ​​XIX-XX århundreder og fik navnet "fundament af matematik".

Men i første omgang er det måske værd at dvæle på skolens geometri, som i høj grad gentager Euclids "Begyndelser", skrevet mere end 2 tusinde år siden. I traditionelle lærebøger gives først nogle udtalelser (axiomer) om egenskaberne af punkter og linjer på et plan, og gyldigheden af ​​forskellige vigtige og nyttige geometriske fakta (sætninger) er afledt af dem ved logisk konstruktion i overensstemmelse med reglerne for "Aristotelian" -logikken. Eksempelvis hævder en af ​​aksiomaerne, at den ene og en lige linje passerer gennem to punkter, den anden påstand – det berømte femte postulat, som Lobachevsky nægtede i sin ikke-euklidiske geometri – vedrører parallelle lige linjer mv.Sandheden af ​​aksiomer accepteres som noget indlysende og ikke kræver bevis. Græsk geometerets fortjeneste er, at han forsøgte at præsentere hele videnskaben om den rumlige opstilling af figurer som et sæt konsekvenser, der stammer fra flere grundlæggende positioner.

Ved slutningen af ​​XIX århundrede blev alle hullerne i de euklidiske "principper" (ud fra de øgede krav fra matematikere til rigor og nøjagtighed af deres tankegang) fyldt. Resultatet af ny forskning var bogen fra den tyske matematiker David Hilbert "The Foundations of Geometry".

Succesen med den euklidiske metode ledede forskere til at udvide sine principper til andre grene af matematik. Efter geometri var det regningen af ​​aritmetik. I 1889 formulerede den italienske matematiker Giuseppe Peano først aritmetiske aksiomer, som syntes at være latterligt oplagt (der er nul, hvert tal efterfølges af et tal osv.), Men i virkeligheden absolut udtømmende. De spillede samme rolle som postulaterne af den store græsk i geometri. Baseret på sådanne udsagn kunne man ved hjælp af logisk begrundelse opnå de grundlæggende aritmetiske sætninger.

I samme periode fremsatte den tyske matematiker Gottlieb Frege en endnu mere ambitiøs opgave.Han foreslog ikke alene at aksiomatisk godkende de grundlæggende egenskaber ved de objekter, der er under undersøgelse, men også at formalisere og kodificere metoderne til at argumentere sig selv, hvilket gjorde det muligt at skrive matematisk ræsonnement i henhold til visse regler i form af en streng tegn. Frege offentliggjorde sine resultater i sit arbejde The Basic Laws of Arithmetic, hvoraf den første mængde blev udgivet i 1893, og den anden krævede ti år med hårdt arbejde og blev fuldstændigt gennemført først i 1902.

En af de mest dramatiske historier i udviklingen af ​​videnskaben om tal er forbundet med Frege's navn og videnskabelige forskning. Da det andet volumen allerede var trykt, modtog forskeren et brev fra den unge engelske matematiker Bertrand Russell. Tillykke med sin kollega med fremragende resultater, pegede Russell alligevel på en omstændighed, der gik forbi forfatterens opmærksomhed. Den snigende "omstændighed" var efterfølgende den almindeligt anerkendte "Russell paradoks", som var spørgsmålet: ville sæt af alle sæt, der ikke er dets elementer, være dets element? Frege kunne ikke løse gåden straks. Han havde intet valgså snart de tilføjer i efterordet til andet bind af hans bog, som kommer ud af trykte bittere ord: "Det er usandsynligt, at noget kan være mere uønsket for en videnskabsmand end at finde ud af, at grundene til det næsten ikke afsluttede arbejde faldt sammen. Brevet jeg modtog fra Bertrand Russell lagde mig netop i denne stilling … "Den nødlidende matematiker tog en sabbatslov på universitetet, brugte meget energi på at forsøge at rette op på sin teori, men alt var forgæves. Han boede i mere end tyve år, men skrev ikke mere arbejde på aritmetik.

Men Russell formåede at udlede en version af det formelle system, som gør det muligt for ham at dække al matematik og fri for alle de paradokser, der var kendt på det tidspunkt, og baserede sig netop på Freges ideer og arbejde. Hans resultat, udgivet i 1902 i bogen Principlesia mathematica (skrevet sammen med Alfred North Whitehead) blev faktisk aksiomatisering af logik, og David Hilbert mente, at det "kan betragtes som kronen for alle bestræbelser på at aksiomatisere videnskaben."

Der var endnu en grund til matematikernes så ivrige interesse for grundlaget for deres disciplin. Pointen erat ved modsætning af det nittende og tyvende århundrede blev modsætninger opdaget i sætteori, for at udpege, hvilken eufemisme "sætteoriets paradokser" blev udtænkt. De mest berømte af dem – den berømte Russell Paradox – var desværre ikke den eneste. Desuden var det klart for de fleste forskere, at opdagelsen af ​​nye mærkelige ting ikke ville være. Deres udseende havde en "katastrofal virkning" på den matematiske verden, som Hilbert satte det, da set teori spillede rollen som grundlaget for, at hele bygningen af ​​videnskaben om tal blev opført. "I lyset af disse paradokser må man indrømme, at den situation, hvor vi nu er, er uudholdelig i lang tid. Tænk: I matematik – denne model af pålidelighed og sandhed – begreber og konklusioner, som alle studerer dem, underviser og anvender, fører til absurditeter. Hvor vil man da søge pålidelighed og sandhed, selvom matematisk tænkning selv misfires? ", Gilbert beklagede i sin rapport på matematikernes kongres i juni 1925.

Således kom matematikere for første gang i tre årtusinder tæt på at udforske de dybeste grundlag for deres disciplin.Et nysgerrig billede opstod: Amatørerne af tal, der lærte at tydeliggøre de regler, som de gennemfører deres beregninger til, var alt, hvad de måtte gøre, at bevise "legitimiteten" af de grunde, de havde taget for at eliminere enhver tvivl, der frembringes af de forfalskede paradokser. Og i den første halvdel af 20'erne skitserede den store Hilbert, omkring hvem briljante tilhængers skole havde udviklet sig på den tid, en forskningsplan inden for matematikens fundament, senere kaldet Göttingen-programmet. I sin mest forenklede form kan det siges som følger: Matematik kan repræsenteres som et sæt konsekvenser afledt af et bestemt system af aksiomer og bevise at:

  1. Matematikken er færdig, dvs. Enhver matematisk erklæring kan bevises eller afvises på baggrund af selve disciplinens regler.
  2. Matematikken er konsistent, dvs. det er umuligt at bevise og på samme tid afvise enhver erklæring uden at krænke de accepterede regler for ræsonnement.
  3. Matematik er opløselige, dvs. ved at anvende reglerne kan man finde ud af hvad som helst matematisk erklæring, om det er bevisligt eller refutable.

Faktisk forsøgte Hilberts program at udarbejde en slags generel procedure til at besvare alle matematiske spørgsmål eller i det mindste bevise dets eksistens. Videnskabsmanden selv var selvsikker på det bekræftende svar på alle tre spørgsmål formuleret af ham: matematikken var efter hans mening fuldstændig, konsekvent og løselig. Det var kun for at bevise det.

Desuden troede Hilbert at den aksiomatiske metode kunne blive grundlaget ikke kun for matematik, men også for videnskab som helhed. I 1930 skrev han i artiklen "Kendskab til natur og logik": "Selv i de mest omfattende områder af viden inden for deres anvendelsesområde findes der ofte en række grundlæggende antagelser, der normalt kaldes aksiomer, hvorom hele teorien under overvejelse er bygget op på en rent logisk måde."

Hvad ville konsekvenserne af Hubert og hans skole blive for succes med den videre udvikling af videnskaben? Hvis, som han troede, blev al matematik (og videnskab generelt) reduceret til et system af aksiomer, kunne de indgå i en computer, der kunne anvende et program som følger de generelle logiske regler for at underbygge enhver erklæring (det vil sige at bevise sætningen) fra de oprindelige udsagn.

Hilberts teori var blevet implementeret, supercomputere, der arbejder døgnet rundt, ville hele tiden bevise flere og flere nye sætninger ved at sende dem på utallige websteder på verdensomspændende web. Efter matematik ville den "aksiomatiske epoke" begynde i fysik, kemi, biologi og endelig ville linjen have nået videnskaben om menneskelig bevidsthed. Enig, verden omkring os, og vi selv, ville i en lignende sag se lidt anderledes ut.

Den "universelle aksiomatisering" fandt dog ikke sted. Hele det superambitiøse, grandiose program, som verdens største matematikere har arbejdet i adskillige årtier, blev afvist af en enkelt sætning. Forfatteren var Kurt Godel, som på det tidspunkt næppe var blevet 25 år gammel.

I 1930 gav han på en konference arrangeret af Wienerkredsen i Königsberg en rapport om fuldstændigheden af ​​logisk beregning Principlesia mathematica og relaterede systemer. " Det centrale punkt i hans arbejde var formuleringen og beviset for sætningen, som spillede en fundamental rolle i al videre udvikling af matematik, og ikke kun den. Dette er den berømte Gödel ufuldstændighed sætning.Den mest almindelige, men ikke fuldstændig strenge ordlyd hedder, at "for ethvert ikke-kontradiktorisk system af aksiomer er der en erklæring, der ikke inden for rammerne af et accepteret aksiomatisk system kan bevises eller afvises." Således gav Gudel et negativt svar på Hilberts første erklæring.

Det er nysgerrig, at Werner Heisenberg lavede en præsentation på samme konference om emnet "Kausal viden og kvantemekanik". Denne rapport skitserede de første tilgange til hans berømte "usikkerhedsrelationer".

Gödels konklusioner frembragte i det matematiske samfund effekten af ​​en intellektuel bombe. Især siden snart blev deres refusioner af Hubert-programmets to andre punkter opnået. Det viste sig, at matematikken er ufuldstændig, uopløselig, og dens konsistens kan ikke bevises (inden for rammerne af selve systemet, hvis konsistens er bevist).

Gödel sætning

Tre fjerdedele af et århundrede er gået siden da, men tvister om, hvad Gudel har bevist, har ikke aftaget. Særligt varm debat går ind i næsten videnskabens kredse. "Gödel er ufuldstændighed sætning er virkelig unik.De henviser til det, når de vil bevise "alt i verden" – fra guds tilstedeværelse til mangel på grund ", skriver den fremtrædende moderne matematiker V. A. Uspensky.

Hvis vi forlader adskillige lignende spekulationer, skal det bemærkes, at forskere blev delt på spørgsmålet om at vurdere Godels rolle i to grupper. Nogle efter Russell mener, at den berømte sætning, der dannede grundlaget for moderne matematiske logik, alligevel havde en meget ubetydelig indflydelse på yderligere arbejde uden for denne disciplin – matematikere, som de beviste deres sætninger i "før-Feldian" æraen, fortsætter med at bevise dem til denne dag.

Hvad angår den phantasmagoriske vision af computere, der konstant beviser alle nye sætninger, er betydningen af ​​sådanne aktiviteter tvivlsomme for mange specialister. For matematik er det ikke kun vigtigt at formulere den beviserede sætning, men også forståelsen, da det er dette, der gør det muligt at identificere forbindelsen mellem forskellige objekter og forstå, i hvilken retning man kan gå videre. Uden en sådan forståelse af sætningen, der genereres på grundlag af reglerne for formaliseret indledning,de repræsenterer kun en slags "matematisk spam" – dette er meningen fra medlemmet af Institut for Matematisk Logik og Teori om Algoritmer for Mekanik og Matematik ved Moskva Stat Universitet Alexander Shen.

På samme måde begrundede Gudel sig selv. Til dem, der fortalte ham for at ødelægge fundamentet for matematikken, svarede han, at i det væsentlige intet var ændret, fundamentet forblev uændret, og hans sætning førte kun til en revurdering af rollen som intuition og personlige initiativer inden for videnskab, der styres af jernlove , hvilket efterlader tilsyneladende lidt plads til sådanne fordele.

Godel og Einstein (foto: "I videnskabens verden")

Men nogle forskere har en anden mening. Faktisk, hvis vi overvejer evnen til logisk at forankre som hovedkarakteristikken for det menneskelige sind, eller i det mindste dets vigtigste redskab, så angiver Godels sætning direkte grænserne for vores hjerne. Enig, at en person opdraget på tro på den uendelige tankegang er meget vanskelig at acceptere afhandlingen om grænserne for sin magt.

Vi kan snarere tale om begrænsningerne af vores ideer om vores egne mentale evner.Mange eksperter mener, at de formelle beregningsmæssige "aristoteliske" processer, der ligger til grund for den logiske tænkning, kun er en del af den menneskelige bevidsthed. Dets andet område, som i det væsentlige er "ikke-beregningsmæssigt", er ansvarlig for sådanne manifestationer som intuition, kreativ indsigt og forståelse. Og hvis den første halvdel af sindet falder ind under Gödel-begrænsningerne, er anden halvdel fri for en sådan ramme.

Den mest konsekvente fortaler for dette synspunkt – Roger Penrose, den fremste ekspert inden for matematik og teoretisk fysik – gik endnu længere. Han foreslog eksistensen af ​​nogle kvanteffekter af en ikke-beregningsmæssig karakter, der sikrer realiseringen af ​​kreative handlinger af bevidsthed. Og selv om mange af hans kolleger er kritiske over for tanken om at give menneskehjernen en hypotetisk kvantemekanisme, har Penrose og hans personale allerede udviklet et eksperimentelt design, som efter deres mening burde bekræfte deres eksistens.

En af deres mange konsekvenser af Penrose-hypotesen kan især være den konklusion, at det i princippet er umuligt at skabe kunstig intelligens baseret på moderne computerenheder, selv i så faldhvis fremkomsten af ​​kvantecomputere vil føre til et enormt gennembrud inden for computing. Faktum er, at en hvilken som helst computer kun mere og mere kan udforme arbejdet med den formelle logiske "beregningsmæssige" aktivitet i den menneskelige bevidsthed, men det intellektuelle "ikke-beregningsmæssige" evner er utilgængelige for det.

Sådan er kun en lille del af naturvidenskabelige og filosofiske debatter forårsaget af den unge Gödels matematiske sætning, der blev offentliggjort for 75 år siden. Sammen med andre store samtidige tvang han en person til at se på verden omkring sig og på sig selv forskelligt. De største opdagelser i det første tredje af det tyvende århundrede, herunder Gödels sætning, samt skabelsen af ​​relativitets- og kvanteorienteringsteorien viste grænserne for det mekanistisk-deterministiske billede af naturen, der blev skabt på grundlag af videnskabelig forskning i de to foregående århundreder. Det viste sig, at universernes udvikling og moralske imperativer er underlagt fundamentalt forskellige love, hvor der er en uigennemtrængelig kompleksitet, usikkerhed og chancen og irreversibilitet.

Konsekvenserne af en stor videnskabelig revolution er imidlertid ikke opbrugt af de allerede nævnte. Ved begyndelsen af ​​det tyvende århundrede havde ideerne om Laplace – Newtonian determinisme en enorm indflydelse på samfundsvidenskabens udvikling. Efter de klassiske naturvidenskabers armaturer, der repræsenterer naturen som en stiv mekanisk struktur, hvor alle elementer adlyder strenge love, og fremtiden ubetinget kan forudsiges, hvis den nuværende tilstand er kendt, udpegede samfundsvidenskabelige præster et menneskeligt samfund, der er underlagt uendelige love og udvikler sig i en forudbestemt retning . Et af de sidste forsøg på at bevare et sådant billede af verden var tilsyneladende marxismen-leninismen, begået begrebet "den eneste sande videnskabelige doktrin", som indeholdt en "materialistisk forståelse af historien". Det er tilstrækkeligt at huske den leninistiske ide om at opbygge et socialistisk samfund i henhold til typen "stor fabrik".

Gradvist begyndte ideen om kompleksitet, chance og usikkerhed, som var etableret i naturvidenskabens billede af universet, med stor vanskelighed at trænge ind i samfundsvidenskaben.I samfundet realiseres uopløst ved fænomenet individuel individuel frihed. Det er tilstedeværelsen i menneskets natur som et emne, der giver et gratis og uforudsigeligt valg, der gør den historiske proces kompleks og ikke underlagt nogen uudviklede love om universel udvikling.

Det er imidlertid umuligt ikke at bemærke, at erhvervelsen af ​​et nyt billede af en kompleks verden i vores land fandt sted med stor vanskelighed. Den ideologi, der hersker i syv årtier, var en Laplace-type determinisme som en filosofi om universel autoritær orden. Det var dette predestinationsprincip, der lå i hjertet af drømmen, som aldrig efterlod det herskende sovjetiske bureaukrati, om et fabrikssamfund der styres af strenge hierarkierslover. Og derfor, når vi talte om kompleksitet, pluralisme, mangfoldighed, om det er relativitetsteorien, kvantemekanikken, genetik, cybernetik, sociologisk forskning, psykoanalyse mv., Den ideologiske censurmekanisme, der var meningen at udvise alle nævner frihed både fra naturen og fra samfundet. Desværre vejer den inerte arv stadig en grum skygge over sindene hos mange af vores landsmænd og samtidige.Bevis for dette er den foruroligende søgning, som myndighederne har indledt for en ny "national ideologi", der kunne tage plads efter den kommunistiske doktrins død.

Så tvunget Kurt Gödel og hans store samtidige os til at tage et nyt kig på den "stjerneklare himmel overhead og den moralske lov i os" og det samfund, vi lever i.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: