Tre i Én • Evgeny Epifanov • Populære videnskabsproblemer på "Elements" • Matematik

Tre i en

opgave

På hvor mange måder kan du skære et firkant i tre rektangler, der hver især ligner de to andre? Husk at to rektangler ligner hinanden, hvis siderne af den første vedrører hinanden på samme måde som siderne af den anden. Måder, der kun adskiller sig i rotation eller reflektion af en firkant, tælles som en.


hjælpe

Tre rektangler er ikke mange, så du kan sortere gennem sagerne af deres placering på pladsen og kontrollere om rektanglerne kan være ens i hvert tilfælde.


beslutning

Hvis du trækker en firkants divisioner i tre rektangler for at forstå, hvordan de kan placeres i det, kan du hurtigt komme til den konklusion, at der kun er to forskellige tilfælde (op til en kvadrering). Faktisk kan tre, to eller et rektangel støde op på torgets overkant. Hvis der er tre af dem, så er konfigurationen vist i fig. 1 tilbage. Hvis to, så – konfigurationen vist i denne figur til højre. Hvis kun et rektangel støder op til oversiden, ligger de to andre under den, og deres fælles side er enten vandret (og så er det det samme som den første konfiguration) eller lodret (så er det det samme som den anden konfiguration).

Fig. 1.

Det er umiddelbart klart om den første konfiguration, at alle tre rektangler er lig med hinanden: Til gengæld skal de være ens, men fra arrangementet viser det sig, at de er ligecirkade gode sider.

Vi forstår den anden konfiguration. Vi vil overveje orientering rektanglet er retningen på sin længere side (det er klart, at vi kun har langstrakte rektangler, der har den ene side længere end den anden). Hvordan kan de to øverste rektangler orienteres?

De kan ikke være begge lodrette (som i figur 1), fordi de vil være lige (fcirkade store sider er de samme), og derfor er forholdet mellem den større side og den mindre en mindre end 2 (da den mindre side er lig med halvdelen af ​​kvadratet, og den større er ikke større end hele siden af ​​kvadratet). Og i det nederste rektangel vil dette forhold være større end 2. Derfor kan det ikke ligner den øverste.

De kan være både vandrette (fig. 2, venstre). Derefter er de to øvre rektangler igen ens, og det er nemt at beregne, at for at alle tre rektangler skal være ens, er det nødvendigt, at siderne af hver behandler hinanden som 3: 2.

Fig. 2.

Endelig kan det være, at en af ​​de øvre rektangler er vandret og den anden er lodret? Tjek det ud. Denne situation er afbildet i figur 2 til højre.Vi introducerer notationen som denne figur. I betragtning af lighed mellem rektangler finder vi:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

Da siderne af pladsen er lige, får vi ligeværdierne:

\ [y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

Ret ligestilling giver dig mulighed for at udtrykke y:

\ [y = \ dfrac {1 + x} %, \]

hvorefter ligningen opnås fra den venstre ligning

\ [dfrac {1 + x} % + \ dfrac % {1 + x} = 1 + x. \]

Det kan omskrives som

\ [x ^ 3-x-1 = 0. \]

Denne kubiske ligning har en rigtig rod \ (\ rho \ ca1 {,} 3247 \ ldots \), så denne sag er realiseret. Så der er tre måder at skære et firkant på i lignende rektangler.


efterskrift

Da formlerne for nøjagtige løsninger er kendt for kubiske ligninger, kan vi være sikre på, at der er en rod, og den er en. I radikaler er dette tal skrevet som:

\ [\ rho = \ dfrac {\ sqrt [3] {108 + 12 \ sqrt %} + \ sqrt [3] {108-12 \ sqrt %}} %.

Det kan også skrives i form af en uendelig række radikaler indlejret i hinanden:

\ [\ rho = \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {\ ldots}}}} \]

Interessant nok har dette nummer sit eget navn: en hollandsk arkitekt (og deltidsmonk) Hans van der Laan kaldte ham plast nummer (plastnummer). Van der Laan skabte ikke mange bygninger og for det meste var disse kirker, men hans teoretiske arbejde havde en vis vægt. Især udviklede han en teori om harmoniske forhold mellem elementer i en bygning,hvor plastnummeret spillede en central rolle.

Fig. 3. Bygninger designet af Hans van der Laan. Til venstre: Benediktinerkloster i Tumell, Sverige. Til højre: Det indre af klosteret i Maastricht, Holland. Billeder fra webstedet divisare.com

Et sådant navn i hans idé afspejlede det faktum, at dette tal kan gives en geometrisk "form". Vi mødte et eksempel på en sådan form i et problem. Et andet eksempel opstår som følger. Antag at der er et ubegrænset udbud af kasser (rektangulære parallelepipeder) af forskellige størrelser med hele længder af sider. Lad os starte med 1 × 1 × 1 boksen, vedhæft en anden sådan boks til siden af ​​kassen – vi får en 2 × 1 × 1 boks. Vi vedhæfter det foran det samme for at få en kasse på 2 × 2 × 1. Vedhæft en 2 × 2 × 2 boks til bunden for at oprette en 2 × 2 × 3 boks. Derefter skal du fortsætte som dette: Sæt nye kasser skiftevis fra side, forkant og bund og vælg deres størrelse, så to dimensioner (disse er dimensionerne af ansigtet, som den næste kasse er vedhæftet) falder sammen med målingerne af den aktuelle kasse, og den tredje dimension er, hvad den ændrede måling to "bevægelser" før. De første trin er vist i figur 4.For eksempel er det femte "træk" til højre en kasse på 2 × 2 × 3 og dens "længde" (måling langs pilene i denne figur) er 2, fordi to bevæger sig før kassen havde en "bredde" lig med 2 (dette er den rigtige kasse i øverste række).

Fig. 4. Opbygning af en "plastik" boks. Figur fra artikel V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Mod van der Laans plastnummer i flyet

Hvis du fortsætter denne proces, vil størrelsen af ​​boksene naturligvis øges. Men deres siders forhold ("nærliggende" i længden, som vist i figur 4) vil have en begrænset grænse, hvilket er plastnummeret.

Tanken bag begrundelsen er som følger. Bemærk, at størrelserne af boksene er tripler af tilgrænsende tal fra sekvensen 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, … Hvis vi betegner nmedlem af denne sekvens Pnderefter på n > 3 har ligestilling Pn = Pn−2 + Pn−3. Mere præcist definerer denne lineære tilbagevendelsesrelation denne sekvens, som kaldes Padovan-sekvensen. Det viser sig, at man kan udtrykke det almindelige udtryk for en tilbagevendende sekvens gennem rødderne af dens karakteristiske polynom. For disse links kan du lære mere om dette emne, nu er det kun vigtigt, at den karakteristiske polynom er for denne sekvens: \ (x ^ 3-x-1 \), og dens virkelige rod, som vi ved, er plastnummeret ρ. Derfor er sekvensen af ​​magt af dette tal forresten 1, ρ, ρ2, ρ3, … tilfredsstiller samme tilbagevendelsesrelation (denne observation resulterer faktisk i metoden til at udtrykke sekvensens udtryk gennem polynomens rødder). Dette polynom har to komplekse rødder. Hvis de betegnes af q og s, så med nogle konstanter en, b, c lighed Pn = n + bqn + csn vil være sandt med alle naturlige n. Men siden komplekse rødder q og s modulo mindre end 1, deres grader tendens til at være nul med stigende n.

I denne forstand er plastnummeret til Padovan-sekvensen det samme som det andet (og meget mere kendte) "arkitektoniske" nummer – det gyldne afsnit – for Fibonacci-sekvensen (og sølvafsnittet for Pell-numre).

Mere om egenskaberne af plastnumre findes i artiklen V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Mod van der Laan. Plastnummer i flyet.


Like this post? Please share to your friends:
Skriv et svar

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: